Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Значит диагонали А1В и В1С - скрещивающиеся прямые (дано). Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Перенесем В1С параллельно так, чтобы она проходила через точку А1. Прямые А1В и А1С2 теперь пересекающиеся и угол между ними - это угол С2А1В. Прямую В1С мы переносили параллельно, значит СС2 параллельна и равна ВА и ВС. Угол АСС2 равен углу ВАС, как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА и СС2 и секущей АС. Но угол ВАС - угол равностороннего треугольника и равен 60°, так же как и угол ВСА. Следовательно, треугольник ВСС2 равнобедренный, в котором основание ВС2=2*(√3/2)а или ВС2=а√3, где а - сторона основания призмы (поскольку ВС2=2*ВН, где ВН - высота основания - равностороннего треугольника). Треугольник С2А1В - равнобедренный, с боковыми сторонами - диагоналями боковых сторон призмы, равными а√2 и основанием ВС2, равным а√3. Искомый угол найдем из теоремы косинусов: Cosα= (a²+b²-c²)/2ab, где α - угол между сторонами а и b. В нашем случае Cosα= (2a²+2а²-3а²)/(2а√2а√2) = 1/4 =0,25. Тогда сам угол α = arccos(0,25). или α≈75,5°.
Координатный метод: Привяжем призму к системе координат. пусть стороны нашего равностороннего треугольника равны 1. Тогда точка А1(0;1;1), точка В(0;0;0), точка B1(0;1;0), точка С(√3/2;0;1/2). Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. Значит BА1{0;1;1}, а B1C{√3/2;-1;1/2}. Угол между векторами А1В и В1С найдем по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)], или cosα=(0+(-1)+1/2)/[√(0²+1+1)*√(3/4+1+1/4)]= 1/4. Что, естественно, совпадает с чисто геометрическим вариантом, но насколько проще!
1) Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой проведена. S=ah 2) Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон, умноженному на синус угла между ними. S=ab*sin α По второй формуле площадь найдена в предыдущем решении. ---- Решение по формуле S=ah.ad. Обозначим вершины параллелограмма ABCD Опустим из вершины В высоту ВН на сторону АD. ВН -катет прямоугольного треугольника АВН, противолежащий углу 30°, значит, он равен половине гипотенузы АВ. ВН=3 см. Ѕ АВСD=AD*BH=8*3=24 см²
Значит диагонали А1В и В1С - скрещивающиеся прямые (дано).
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Перенесем В1С параллельно так, чтобы она проходила через точку А1. Прямые А1В и А1С2 теперь пересекающиеся и угол между ними - это угол С2А1В.
Прямую В1С мы переносили параллельно, значит СС2 параллельна и равна ВА и ВС. Угол АСС2 равен углу ВАС, как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА и СС2 и секущей АС.
Но угол ВАС - угол равностороннего треугольника и равен 60°, так же как и угол ВСА. Следовательно, треугольник ВСС2 равнобедренный, в котором основание ВС2=2*(√3/2)а или ВС2=а√3, где а - сторона основания призмы (поскольку
ВС2=2*ВН, где ВН - высота основания - равностороннего треугольника).
Треугольник С2А1В - равнобедренный, с боковыми сторонами - диагоналями боковых сторон призмы, равными а√2 и основанием ВС2, равным а√3.
Искомый угол найдем из теоремы косинусов: Cosα= (a²+b²-c²)/2ab, где α - угол
между сторонами а и b.
В нашем случае Cosα= (2a²+2а²-3а²)/(2а√2а√2) = 1/4 =0,25.
Тогда сам угол α = arccos(0,25). или α≈75,5°.
Координатный метод:
Привяжем призму к системе координат.
пусть стороны нашего равностороннего треугольника равны 1.
Тогда точка А1(0;1;1), точка В(0;0;0), точка B1(0;1;0), точка С(√3/2;0;1/2).
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. Значит BА1{0;1;1}, а B1C{√3/2;-1;1/2}.
Угол между векторами А1В и В1С найдем по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)], или
cosα=(0+(-1)+1/2)/[√(0²+1+1)*√(3/4+1+1/4)]= 1/4.
Что, естественно, совпадает с чисто геометрическим вариантом, но насколько проще!
S=ah
2) Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон, умноженному на синус угла между ними.
S=ab*sin α
По второй формуле площадь найдена в предыдущем решении.
----
Решение по формуле
S=ah.ad.
Обозначим вершины параллелограмма ABCD
Опустим из вершины В высоту ВН на сторону АD.
ВН -катет прямоугольного треугольника АВН, противолежащий углу 30°, значит, он равен половине гипотенузы АВ.
ВН=3 см.
Ѕ АВСD=AD*BH=8*3=24 см²