В шестиугольнике со стороной 1 последовательно соединены середины всех сторон, в новом шестиугольнике опять соединены середины сторон, потом снова соединены середины сторон полученного шестиугольника и т.д. Найдите сумму площадей всех этих шестиугольников.
Итак, у нас есть шестиугольник, где каждая сторона равна 1. Для удобства назовем этот шестиугольник исходным шестиугольником.
В задаче говорится, что мы должны последовательно соединить середины всех сторон и получить новый шестиугольник. Обозначим этот новый шестиугольник, полученный из исходного, как первый шаг.
Чтобы узнать площадь первого шага, нужно найти площадь шестиугольника, полученного соединением середин сторон исходного шестиугольника. Для этого можно использовать следующий способ:
1. Разделим исходный шестиугольник на 6 одинаковых треугольников. Для этого проведем линии, соединяющие центр шестиугольника с вершинами.
Теперь каждый треугольник имеет следующие параметры:
- Длина базы (основания) = 1
- Высота равностороннего треугольника (так как каждая сторона исходного шестиугольника равна 1) = √3/2
Площадь треугольника можно рассчитать по формуле: (1/2)*base*height.
В нашем случае площадь каждого треугольника равна: (1/2)*1*(√3/2) = √3/4
2. Теперь мы знаем площадь одного треугольника в первом шаге. Чтобы узнать площадь всего первого шестиугольника, нужно умножить площадь треугольника на 6 (так как в шестиугольнике 6 треугольников).
Площадь первого шестиугольника = 6*(√3/4) = (6√3)/4 = (3√3)/2
Хорошо, мы нашли площадь первого шестиугольника. Теперь нам нужно найти площадь следующего шестиугольника, полученного соединением середин сторон первого шестиугольника.
Для этого мы можем использовать тот же подход, что и в первом шаге:
1. Разделим первый шестиугольник на 6 треугольников, соединяющих середины его сторон.
Каждый треугольник имеет следующие параметры:
- Длина базы (основания) = 1/2 (так как это середина стороны)
- Высота равностороннего треугольника (каждая сторона первого шестиугольника равна ((3√3)/2)/2 = √3/2) = (√3/2)*2/3 = √3/3
Площадь каждого треугольника равна: (1/2)*(1/2)*(√3/3) = (√3)/12
2. Умножим площадь одного треугольника на 6 (так как во втором шестиугольнике 6 треугольников), чтобы найти площадь всего второго шестиугольника.
Площадь второго шестиугольника = 6*((√3)/12) = (√3)/2
Мы нашли площадь второго шестиугольника. Теперь продолжим эту операцию, последовательно находя площади всех шестиугольников.
3. Площадь третьего шестиугольника = (√3)/2 * 6 = 3√3/2
4. Площадь четвертого шестиугольника = 3√3/2 * 6 = 9√3/2
5. Площадь пятого шестиугольника = 9√3/2 * 6 = 27√3/2
6. Площадь шестого шестиугольника = 27√3/2 * 6 = 81√3/2
Таким образом, сумма площадей всех этих шестиугольников равна:
(3√3/2) + (9√3/2) + (27√3/2) + (81√3/2) = (3 + 9 + 27 + 81)√3/2 = 120√3/2 = 60√3
Ответ: Сумма площадей всех шестиугольников равна 60√3.