В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны
С рисунком и обьяснениями​

Обозначил меньшее основание - а, большее основание - b. Тогда периметр трапеции, с учётом условия равенства меньшего основания и боковых сторон, можно записать так Р=3*а+b. Площадь трапеции выглядит так: S=1/2*(a+b)*h, подставим известные нам значения 128=1/2*(a+b)*8 или a+b=(128*2)/8; a+b=32. Выразим из последнего уравнения b и подставим его в уравнение периметра: b=32-a; P=3*a+32-a; получим 52=2*а+32; 2а=52-32; 2а=20; а=10 см. b=32-10=22 см. Получили, что боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, а большее основание равно 22 см.

Плоскость ASC перпендикулярна основанию.
Опустим из точки О перпендикуляр на ребро SC в точку К.
Тогда угол ОКD и будет искомым углом между плоскостями ASC и DSC.
Найдём длину ОК из треугольника ОКС.
OK = ОС*sin 60°.
ОС = OD.
Треугольник ОКD - прямоугольный с прямым углом О.
Катет ОD - это половина диагонали основания (квадрата), он равен:
ОD = (1/2)ВD = (1/2)*(18√2) = 9√2.
OK = ОС*sin 60° = 9√2*(√3/2) = 9√6/2.
Тогда искомый угол ОКD равен:
tg ОКD = ОD/OK = 9√2/(9√6/2) = 2/√3 =2√3/3.
Угол ОКD = arg tg (2√3/3) = arc tg1,154701 = 0,857072 радиан = 49,10661°.