(x-5) ²+(y+9)²+(z+12)²=13² или (x-5) ²+(y+9)²+(z+12)²=169
Объяснение:
Перевод: Составить уравнение сферы с центром в точке (5; -9; -12), которая касается к оси ординат.
Решение.
Как известно, уравнение сферы имеет следующий вид:
(x-x₀) ²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²,
где R - радиус сферы, (x₀; y₀; z₀) - координаты её центра.
Нам известно координаты её центра S(5; -9; -12), остаётся найти радиус R (см. рисунок).
По условию сфера должна касаться к оси ординат и поэтому радиусом будет расстояние от центра S до оси Oy, то есть перпендикулярный к оси Oy отрезок, соединяющий центр S с точкой касания оси Oy (на рисунке нужная ось и нужные отрезки показаны красным).
Так как отрезок AS, равная радиусу R, перпендикулярен к оси Oy, то треугольник OAS прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
OS²=OA²+AS² или AS²=OS²-OA².
Длина отрезка OA известно: OA = |-9| = 9. Найдём OS² как квадрат расстояния между точками O(0; 0; 0) и S(5; -9; -12):
В приложении представлено построение точки O (5; -9; -12). Красным выделен радиус сферы.
Обращаем внимание, что для поиска радиуса удобнее работать на модели справа -- прямоугольном параллелепипеде.
1. Радиусом будет расстояние от точки O до оси Y (так как необходимо кратчайшее расстояние до оси для касания сферы).
Расстояние от точки до прямой -- это перпендикуляр, проведённый из этой точки к данной прямой.
PN ⊥ NK, PN ⊥ NM (прямоугольный параллелепипед) ⇒ PN ⊥ (MNK) (по признаку ⊥ прямой и плоскости) ⇒ PN ⊥ NO (прямая, ⊥ плоскости, ⊥ любой прямой в этой плоскости) ⇒ NO -- искомый радиус.
2. MN = 5, MO = NK = 12. По теореме Пифагора из ΔNKO:
(x-5) ²+(y+9)²+(z+12)²=13² или (x-5) ²+(y+9)²+(z+12)²=169
Объяснение:
Перевод: Составить уравнение сферы с центром в точке (5; -9; -12), которая касается к оси ординат.
Решение.
Как известно, уравнение сферы имеет следующий вид:
(x-x₀) ²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²,
где R - радиус сферы, (x₀; y₀; z₀) - координаты её центра.
Нам известно координаты её центра S(5; -9; -12), остаётся найти радиус R (см. рисунок).
По условию сфера должна касаться к оси ординат и поэтому радиусом будет расстояние от центра S до оси Oy, то есть перпендикулярный к оси Oy отрезок, соединяющий центр S с точкой касания оси Oy (на рисунке нужная ось и нужные отрезки показаны красным).
Так как отрезок AS, равная радиусу R, перпендикулярен к оси Oy, то треугольник OAS прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
OS²=OA²+AS² или AS²=OS²-OA².
Длина отрезка OA известно: OA = |-9| = 9. Найдём OS² как квадрат расстояния между точками O(0; 0; 0) и S(5; -9; -12):
OS²=(5-0)²+(-9-0)²+(-12-0)²=5²+9²+12²=25+81+144=250.
Тогда
R²=AS²=OS²-OA²=250-9²=250-81=169=13² или
R=13.
Наконец, искомое уравнение сферы имеет вид:
(x-5) ²+(y+9)²+(z+12)²=13² или
(x-5) ²+(y+9)²+(z+12)²=169.
ответ: (x - 5)² + (y + 9)² + (z + 12)² = 169
Объяснение:
Для уравнения сферы нужен её радиус и центр.
В приложении представлено построение точки O (5; -9; -12). Красным выделен радиус сферы.
Обращаем внимание, что для поиска радиуса удобнее работать на модели справа -- прямоугольном параллелепипеде.
1. Радиусом будет расстояние от точки O до оси Y (так как необходимо кратчайшее расстояние до оси для касания сферы).
Расстояние от точки до прямой -- это перпендикуляр, проведённый из этой точки к данной прямой.
PN ⊥ NK, PN ⊥ NM (прямоугольный параллелепипед) ⇒ PN ⊥ (MNK) (по признаку ⊥ прямой и плоскости) ⇒ PN ⊥ NO (прямая, ⊥ плоскости, ⊥ любой прямой в этой плоскости) ⇒ NO -- искомый радиус.
2. MN = 5, MO = NK = 12. По теореме Пифагора из ΔNKO:
3. Уравнение сферы имеет следующий вид:
где R -- радиус сферы, (x₀, y₀, z₀) -- её центр.
Тогда в итоге получим следующее уравнение: