В трапеции ABCD BC||AD, AB⊥AD, BC=CD, ∠ABD=66°. Найти ∠D.
люди

Биссектриса по определению делит угол пополам и отсекает равнобедренный треугольник   (в данном случае треугольники ABL и ДCK).
Значит АВ=АL=СД=КД
Из треугольника АВL найдем основание ВL:
ВL=АВ*√(2-2соs A)
АВ=ВL/√(2-2соs A)=8/√(2-2соs A)
Из треугольника ДСК найдем основание СК:
СК=СД*√(2-2соs Д)=АВ*√(2-2соs (180-A))=АВ*√(2+2соs A)
АВ=СК/√(2+2соs A)=12/√(2+2соs A)
8/√(2-2соs A)=12/√(2+2соs A)
4(2+2соs A)=9(2-2соs A)
соs A=5/13
АВ=8/√(2-2*5/13)=2√13
АД=3/2*АВ=3√13
Площадь АВСД:
S=АВ*АД*sin А=2√13*3√13*√(1-соs² A)=78*√(1-25/169)=78*12/13=72

Путь данный треугольник будет АВС. Угол С=90º 
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. ⇒ 
Гипотенуза АВ=15*2=30
Вписанная окружность касается сторон треугольника, и точки касания находятся на равном расстоянии от вершин. ( Отрезки касательной из одной точки до точки касания равны), 
Обозначим  К - точку касания на АС, М - точку касания на АВ, Н - точку касания на ВС. 
Тогда КС=СН=r=6, НВ=МВ, АК=АМ. 
Пусть АК=х.
Тогда АС=х+6
МВ=30-х
СВ=6+(30-х) 
Выразим сторону АВ через катеты по т. Пифагора:
АВ²=ВС²+АС²
900=(36-х)²+(х+6)²
В результате возведения в квадрат и приведения подобных членов получим квадратное уравнение 
2х²-60х+432=0
Нет нужды приводить здесь решение этого уравнения подробно. Корни его 12 и 18. 
АК=18, АС=18+6=24 
ВН=12
ВС=12+6=18 
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. 
S=AC*BC:2=24*18:2=216 ( ед. площади)