Хорошо, давайте решим эту задачу.
В данной задаче у нас есть треугольник ABC, где AB = 3, AC = √14 и BC = 5. Нам нужно найти косинус угла, длину медианы CM и площадь треугольника ABC.
1. Найдем косинус угла B. Мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C),
где a, b и c - стороны треугольника, а C - угол между этими сторонами. В нашем случае стороны такие: a = AB = 3, b = AC = √14 и c = BC = 5, а угол между ними это угол B.
Подставим значения и найдем косинус угла B:
5^2 = 3^2 + (√14)^2 - 2*3*√14*cos(B).
25 = 9 + 14 - 6√14*cos(B).
25 = 23 - 6√14*cos(B).
6√14*cos(B) = 23 - 25 = -2.
cos(B) = (-2) / (6√14).
2. Теперь найдем длину медианы CM. Медиана - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина медианы CM может быть найдена с использованием формулы:
CM = (1/2) * sqrt(2 * (a^2 + b^2) - c^2),
где a и b - стороны треугольника, а c - третья сторона треугольника, противоположная медиане CM. В нашем случае стороны такие: a = AB = 3, b = AC = √14 и c = BC = 5.
Подставим значения и найдем длину медианы CM:
CM = (1/2) * sqrt(2 * (3^2 + (√14)^2) - 5^2).
CM = (1/2) * sqrt(2 * (9 + 14) - 25).
CM = (1/2) * sqrt(2 * 23 - 25).
CM = (1/2) * sqrt(46 - 25).
CM = (1/2) * sqrt(21).
3. Наконец, найдем площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая гласит:
Площадь = (1/2) * a * b * sin(C),
где a и b - стороны треугольника, а C - угол между этими сторонами. В нашем случае стороны такие: a = AB = 3, b = AC = √14, а угол C это угол противоположный стороне BC.
Подставим значения и найдем площадь треугольника ABC:
Площадь = (1/2) * 3 * √14 * sin(C).
Так как мы уже знаем косинус угла B, мы можем использовать тригонометрическую формулу sin^2(C) + cos^2(C) = 1, чтобы найти синус угла C:
sin(C) = √(1 - cos^2(C)).
Найдем sin(C):
sin(C) = √(1 - (-2 / (6√14))^2).
sin(C) = √(1 - 4 / (36 * 14)).
sin(C) = √(1 - 1 / (9 * 14)).
sin(C) = √(1 - 1 / 126).
sin(C) = √(125 / 126).
Теперь подставим значения в формулу для площади и найдем ее:
Площадь = (1/2) * 3 * √14 * √(125 / 126).
Площадь = (3 * √14 * √125) / (2 * √126).
Площадь = (3 * √(14 * 125)) / (2 * √(6 * 21)).
Площадь = (3 * √(1750)) / (2 * √(126)).
Здесь вы сможете произвести упрощение выражения для площади треугольника ABC.
Таким образом, мы нашли косинус угла B, длину медианы CM и площадь треугольника ABC.
