В треугольнике ABC AC=3, ∠B=30∘, AD - высота треугольника. Найдите градусную меру острого угла C, если AD=2. ответ округлите до целых.

7

 

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8

 

ответ: 8

1) Обозначим точку пересечения прямой BE и диагонали как М.
Рассмотрим ∆AME и ∆BMC.
∠AMC = ∠BMC - как вертикальные
∠EAC = ∠BCA - как накрест лежащие.
Значит, ∆AME~∆CMB - по I признаку.
Из подобия треугольников => AE/BC = AM/MC
AE = 1/2AD = 1/2BC.
1/2 = AM/MC = AM/(AC - AM)
2AM = AC - AM
3AM = AC
AM = 3AC
Значит, AM:MC = 1:2.

2) SABD = SBCD, т.к. площади равных фигур равны.
SAEB = SBED, т.к. медиана BE делит треугольник ABD на два равновеликих треугольника AEB и BED.
Тогда SAEB = 1/2SABD = 1/4SABCD
SEDCB = SABCD - SAEB = SABCD - 1/4SABCD = 3/4SABCD
SAEB/SEBCD = (1/4)/(3/4) = 1:3
ответ: 1:2; 1:3.