В треугольнике ABC известны координаты вершин A(1;2;3) B(6;-3;3) C(3;4;5) Определите угол при вершине А. 1. Найдите координаты вектора AB.
2.Найдите координаты вектора АС.
3. Найдите длину AB.
4.Найдите длину АС.
5.Найдите угол между векторами AB и АС.
Укажите ответ в градусах
1. Чтобы найти координаты вектора AB, мы вычитаем из координат вершины B координаты вершины A. То есть AB = B - A.
AB = (6, -3, 3) - (1, 2, 3) = (6-1, -3-2, 3-3) = (5, -5, 0).
2. Координаты вектора AC мы найдем, вычитая из координат вершины C координаты вершины A. То есть AC = C - A.
AC = (3, 4, 5) - (1, 2, 3) = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2).
3. Чтобы найти длину вектора AB, мы используем формулу длины вектора: длина AB = √(ABx² + ABy² + ABz²).
Здесь ABx, ABy и ABz - соответствующие координаты вектора AB.
Длина AB = √(5² + (-5)² + 0²) = √(25 + 25 + 0) = √50 = 5√2.
4. Для вычисления длины вектора AC мы используем аналогичную формулу: длина AC = √(ACx² + ACy² + ACz²).
Где ACx, ACy и ACz - соответствующие координаты вектора AC.
Длина AC = √(2² + 2² + 2²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3.
5. Чтобы найти угол между векторами AB и AC, мы можем использовать косинусную формулу для нахождения угла между векторами.
Косинус угла между векторами AB и AC можно вычислить по формуле: cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| |AC|),
где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.
Сначала найдем скалярное произведение векторов AB и AC.
AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy + ABz * ACz = 5 * 2 + (-5) * 2 + 0 * 2 = 10 - 10 + 0 = 0.
Затем найдем произведение длин векторов AB и AC.
|AB| * |AC| = (5√2) * (2√3) = 10√6.
Теперь можем вычислить косинус угла между векторами AB и AC:
cos(θ) = 0 / (10√6) = 0.
Поскольку косинус угла равен нулю, это означает, что угол между векторами AB и AC равен 90 градусов.
Таким образом, угол при вершине А треугольника ABC равен 90 градусов.