В треугольнике ABC на сторонах BC, AC, AB отмечены точки A1, B1, C1 соответственно так, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке O. Отрезок A1B1 пересекает CO в точке D. Прямая, проходящая через середину отрезка AO и точку C1, пересекает AC в точке E. Докажите, что
[ч у д о в и й ж о в т и й к о л і р п о д е к у д и н а к і н ц я х х м а р о к л и с н и т ' т о ж о в т о г а р а ч и м с в і т о м т о р о ж е в и м] [с о н ц е б е з п р о м і н: я ч е р в о н е н е н а ч е з ж а р у а л е ж о в т и й с в і т о д х м а р о д б и в а є й к и д а є й а с н и й с в і т н а ш и р о к у к а р т и н у] [з а в и ш г о р о д о м с т о ї т ь н а д н і п р і с и з а а л е з ж о в т и м с у т і н к о м і м л а]
Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3
ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда
V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2