В треугольнике ABC одна сторона на 20 см больше другой, а их сумма длин равняется 20 см. Найдите длину третьей стороны, которая лежит против угла в 60°​

1)

  Пирамида правильная, диагональное сечение - равнобедренная трапеция АА1С1С с основаниями АС=9√2 и А1С1=3√2 

Высота С1Н=СН•tg60°

CН=(АС-А1С1):2=3√2=>

C1H=3√2√2=6 

S(AA1C1C)=(AC+A1C1)•CH:2=(9√2+3√2)•6:2=36√2 (ед. площади).

2)

  Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции. 

S (бок) равна сумме их площадей. 

  Для решения задачи необходимо найти стороны оснований и их высоту. 

Формула площади правильного треугольника

S=(a²√3):4=>

a²=4S:√3

AB²=4•36√3:√3=144 => AB=√144=12

А1В1²=4•9√3:√3=36 => A1B1=√36=6 

Основания правильной усеченной пирамиды параллельны, поэтому подобны.

k=A1B1:AB=12:6=1/2

Проведем в ∆ АВС высоту СН, в боковой грани АА1ВВ1 высоту НН1. 

СН⊥АВ и АН=ВН

НН1⊥АВ и АН=ВН

 Двугранный угол равен линейному углу между лучами, проведенными в гранях двугранного из одной точки его ребра перпендикулярно к нему.=>

Угол Н1НС=60°. 

Точка О - центр правильного ∆ АВС ( в ней пересекаются его медианы) . Поэтому СО:ОН=2:1,  ОН=СН:3

СН=ВС•sinCBH=12¨√3/2=6√3.

ОН=2√3 

В трапеции НН1С1С опустим высоту Н1К.

 ОК=О1Н1=ОН:2=√3

КН=ОН-ОК=√3

Из прямоугольного ∆ НН1К гипотенуза НН1=НК:cos60°=(√3):√3/2=2

S(AA1B1B)=(AB+A1B1)•HH1:2=18

S(бок)=3•18=54 (ед. площади)

При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета образуется конус, у которого высотой является больший катет, а радиусом основания будет меньший катет. Образующей конуса является гипотенуза треугольника.

h = 4 см; r = 3 см

Образующая по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника

l² = h² + r² = 4² + 3² = 25

l = 5 см

Основание конуса - круг с площадью

S₀ = πr² = π*3²;         S₀ = 9π см²

Площадь боковой поверхности конуса

S₆ = πrl = π*3*5;        S₆ = 15π см²

Площадь полной поверхности конуса

S = S₀ + S₆ = 9π + 15π = 24π см²

ответ: площадь полной поверхности конуса 24π см²