В треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Найдите угол ABC, если известно, что радиус окружности вписанной в треугольник EBD вдвое больше радиуса окружности вписанной в треугольник ABC.

1) ΔАВС = ΔABD по первому признаку равенства треугольников:

∠АВС = ∠ABD; AB - общая сторона; ВС = BD.

2) ΔMNK = ΔKPM по первому признаку равенства треугольников:

∠NMK = ∠MKP; MK - общая сторона; MN = KP.

3) ΔАВС = ΔABD по первому признаку равенства треугольников:

∠ROS = ∠POT, как вертикальные; RO = OT; PO = OS.

4) ΔOEF = ΔOMN по второму признаку равенства треугольников:

∠OEF = ∠ABD; ∠EOF = ∠MON; EO = ON.

5) ΔKQM = ΔMFP по второму признаку равенства треугольников:

∠KQM = ∠FPM; ∠QMK = ∠FMP, как вертикальные;

QM = MP.

6) ΔOEF = ΔOMN по второму признаку равенства треугольников:

∠OAC = ∠OCA => OA = OC

∠BOA = ∠DOC, как вертикальные; ∠BAO = ∠DCO;

7) ΔMPE = ΔFPN по второму признаку равенства треугольников:

∠PMN = ∠MNP => MP = PN

∠MPE = ∠NPF, как вертикальные; ∠EMP = ∠PNF;

ΔEMN = ΔMNF по первому признаку равенства треугольников:

∠ЕMN = ∠MNF; EM = FN; MN - общая

8) ΔABC = ΔADC по третьему признаку равенства треугольников:

AB = AD; BC = DC; АС - общая.

В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16корень из 3 см^2, а площадь основания- 4корень из 3 см^2.Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды.

Зная площадь основания, найдём величину стороны а основания из формулы So = a²√3/4.

Отсюда a = √(4S/√3) = √(4*4√3/√3) = 4см.

Находим площадь боковой поверхности.

Sбок = S - So = 16√3 - 4√3 = 8√3 см².

Площадь одной боковой грани в 3 раза меньше, поэтому:

Sгр = 8√3/3 см².

Из формулы площади грани как треугольника найдём значение апофемы (это высота боковой грани).

Sгр = (1/2)aA, отсюда находим апофему.

А = 2Sгр/а = 2*(8√3/3)/4 = (4√3/3) см.

Угол при вершине равен 2arctg((a/2)/A) = 2arctg(2/(4√3/3)) =

= 2arctg(3/(2√3) ≈ 81,7868 градуса.