В треугольнике ABC сторона AB > AC. AD – биссектриса. Точка E на стороне AB такая, что ED перпендикулярна BC. Точка F на стороне AC такая, что DE – биссектриса угла BEF. Докажите, что ÐFDC = ÐBAD

Сделаем рисунок согласно условию задачи. 
Проведем в трапеции высоту ВН и диагональ ВD.
Так как АD - диаметр окружности, в которую трапеция вписана,

треугольник АВD- прямоугольный ( угол АВD опирается на дугу 180 градусов).
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований.
S ABCD=BH(BC+AD):2
2S=BH(BC+AD)
(BC+AD)=2S:BH
(BC+AD)=16:2=8

--------------------------------------------------------

Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.

--------------------------------------------------------
Обозначим отрезок АН =х, а

НD= полусумме оснований и равен 4

-------------------------------------------------------

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой..

------------------------------------------------------
Cледовательно,
ВН²=АН*НD
4=4х
х=1
AD=1+4=5
R=AO=5:2=2,5

Дано:

АВСД - ромб; 

АС и ВД - диагонали;

АС=6; ВД=8;

Найти: Р-?

1. АС и ВД - диагонали ромба, по условию => АСперпендикулярнаВД и АО=ОС; ВО=ОД, по свойству диагоналей ромба.

2. Треугольник АОВ:

АО=1/2АС=3, по доказанному; ВО=1/2ВД=4, по доказанному, Угол О - прямоугольный, Из следствия о двух взаимоперпендикулярных прямых;

АВ^2=АО^2+ВО^2, по теореме Пифагора;

АВ=корень из (АО^2+ВО^2)

АВ=корень из 25=5

3. АВСД - ромб, по условию => АВ=ВС=СД=АД, по свойству сторон ромба;

Р=4АВ, по определению периметра ромба;

Р=4*5=20

ОТВЕТ: 20