В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AC и AM:MC=1:3, а
AE – биссектриса. AE и BM пересекаются в точке O, при этом
BO:OM=1:5. Площадь треугольника ABC равна S, вычислите
площадь треугольника BOE.

Пусть дана трапеция АВСD,
высота ВН. 
АВ=5а, 
ВН=4а 
Из отношения высоты и боковой стороны  треугольник АВН египетский, и АН=3а; тот же результат получится по т.Пифагора. 
Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на 2 отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований. ⇒ 
АН=18:2=9
3а=9
а=3 
ВН=4*3=12 
АВ=СD=3*5=15 
P (ABCD)=AB+BC+CD+AD 
64=15+BC+15+BC+18 
2 BC=64-48=16 
BC=8 
AD=8+18=26 
S (ABCD)= BH*(AD+BC):2=12*(26+8):2=204 см²
-----------------------
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Квадрат - ромб. 
S=d²:2=6²:2=18 см²

Построим равнобедренный треугольник АВС с основание АС.
Как сказано в условии, продлим основание в обе стороны на равные расстояния (точки Д и Е)  

Докажем что треугольники АВД и СВД равные:
АВ=ВС (так как АВС равнобедренный)
АД=СЕ (по условию задачи)
Угол ВАД=180-ВАС (как смежные)
Угол ВСЕ=180-ВСА (как смежные)
Так как углы ВАС=ВСА (как углы при основании равнобедренного треугольника), то и углы ВАД=ВСЕ.
Треугольники АВД и СВД равные по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними).
Значит ВД=ВЕ.
Это доказывает что треугольник ВЕД - равнобедренный