В треугольнике ABC точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно. Найдите отношение площадей треугольников AMN и ABC.

Пусть в трапецию ABCD, AD=16, BC=4 вписана окружность. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты трапеции. Если в трапецию можно вписать окружность, значит, суммы её противоположных сторон равны, то есть, сумма 2 боковых сторон равна сумме оснований - 16+4=20, а так как боковые стороны равны, то каждая из них равна 20/2=10. Проведём высоты BE и CF. Четырехугольник BCFE является прямоугольником, так как все его углы прямые. Тогда EF=BC=4. Треугольники ABE и CDF равны по катету и гипотенузе (AB=CD; BE=CF). Тогда AE=DF=(AD-EF)/2=(16-4)/2=6. В прямоугольном треугольнике ABE гипотенуза AB равна 10, а катет AE равен 6. Тогда катет BE по теореме Пифагора равен √10²-6²=√100-36=√64=8. Отрезок BE является высотой трапеции и равен 8, тогда радиус вписанной окружности вдвое меньше и равен 8/2=4 см.

Рассмотрим треугольники ABD  и ACD. Проведем высоты ВН и СК.
Sabd = AD·BH/2
Sacd = AD·CK/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
AD·BH/2 = AD·CK/2 ⇒ ВН = СК.
Но ВН ║ СК как перпендикуляры к одной прямой. Тогда НВСК - прямоугольник и, значит, НК ║ ВС, а
значит, AD ║ BC.

Рассмотрим треугольники ACD и BCD.
Проведем высоты АЕ и ВТ к стороне CD.
Sacd = CD·AE/2
Sbcd = CD·BT/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
CD·AE/2 = CD·BT/2 ⇒ AE = BT.
Но АЕ ║ ВТ как перпендикуляры к одной прямой. Тогда ЕАВТ - прямоугольник и, значит, ЕТ ║ АВ, а
значит, СD ║ АВ.

AD ║ BC, СD ║ АВ, значит ABCD - параллелограмм по определению.