В треугольнике ABC углы B и C равны. На сторонах AB и AC отметили точки M и N соответственно так, что BN=CN. Докажи равенство углов NBC и MCB.

Показать ответ

Ответ:

екатерина700

06.08.2021 03:11

Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.

Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :))

L^2 = a*b - x*y;

Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.

Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому

L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть

c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));

Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)

Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.

По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))

с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;

t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой)

Отсюда sin(C) = 24/25;

Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2

Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы - не вышло. Может, кто-то сообразит?

0,0(0 оценок)

Ответ:

chudnova2001kp07wio

22.03.2021 18:48

1) Первая задача решается немного легче на мой взгляд. Стоит вспомнить теорему синусов в расширенном виде.

Здесь

$\frac{BC}{\sin\angle A}=2R\quad (1)$

R - искомый радиус окружности.

Теперь надо найти угол А. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Остальные два угла известны по условию задачи.

$\angle A=180^0-56^0-64^0$

$\angle A=60^0$

Подставим в (1)

$\frac{3\sqrt{3}}{\sin60^0}=2R$

$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$

$\frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2R$

сократим на 2 обе части

$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=R$

R=3.

2) Докажем, что треугольник ACD - равнобедренный. Смотри рисунок во вложении. Так как АВ=ВС, то углы ВАС и ВСА равны. Вычислим сколько градусов составляют эти углы. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В самом треугольнике АВС

Пусть

$\angle BAC=\angle BCA=x$