Составить уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Высота СД - это перпендикуляр к прямой АВ.
Составим уравнение прямой АВ.
Вектор АВ = (5-(-7); -3-2) = (12; -5).
Уравнение АВ:
(x + 7)/12 = (y – 2)/(-5) в каноническом виде или
5х + 12у + 11 = 0 в общем виде.
Перпендикулярная прямая в общем виде Ах + Ву + С = 0 имеет коэффициенты по сравнению с АВ, равные В и -А (это из условия, что их скалярное произведение равно нулю): 12х - 5у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки С:
Даны вершины А(-7;2) B(5;-3) C(8:1) треугольника АBC.
Составить уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Высота СД - это перпендикуляр к прямой АВ.
Составим уравнение прямой АВ.
Вектор АВ = (5-(-7); -3-2) = (12; -5).
Уравнение АВ:
(x + 7)/12 = (y – 2)/(-5) в каноническом виде или
5х + 12у + 11 = 0 в общем виде.
Перпендикулярная прямая в общем виде Ах + Ву + С = 0 имеет коэффициенты по сравнению с АВ, равные В и -А (это из условия, что их скалярное произведение равно нулю): 12х - 5у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки С:
12*8 - 5*1 + С = 0, отсюда С = -96 + 5 = -91.
Получаем уравнение общего вида:
СD = 12х - 5у - 91 = 0.
Имеем 3 точки, две из которых лежат на отрезке, а одна не лежит на нем.
Это точки А, В, D.
Через три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом только одну. (Аксиома).
Точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.
Значит, и точка Е, как лежащая на прямой АD, лежит в этой плоскости.
Точки В и Е принадлежат обеим плоскостям, значит, эти плоскости пересекаются по прямой ВЕ.
Прямая ВЕ - линия пересечения плоскости α и плоскости ЕАВ, СD || плоскости α по условию.
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей. ⇒
CD || ВЕ, отрезки АЕ и АВ секущие при этих параллельных прямых.
По свойству углов при параллельных прямых и секущей
в треугольниках АDС и АВЕ ∠АСD =∠ АВЕ и ∠АDС=∠АЕВ как соответственные, угол А - общий. ⇒
∆ АDС ~∆ АВЕ по первому признаку подобия треугольников. .
Из подобия треугольников следует:
ВЕ:СD=АВ:АС
Пусть коэффициент отношения АВ и ВС равен х.
Т.к. АВ:СВ=4:3, то
АС=4х-3х=1х
ВЕ:12=4:1 ⇒
ВЕ=48 см