В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, АВ:ВС=3:4. Найдите площадь треугольника ВСК, если площадь треугольника АВК равна 36см^2. !! подробное объяснение

Треугольники SCD и SAB - прямоугольные и центр описанной около них  окружности лежит в центре их общей гипотенузы SB.
Следовательно, центр шара , описанного вокруг пирамиды SABC лежит в этой  же точке и радиус его равен половине ребра SB. Ребро SB найдем по  Пифагору: SB=√(L²+b²).
Значит OA=OC=OB=OS=Rш=(1/2)√(L²+b²), а его объем равен Vш=(4/3)*πR³ или
Vш=(4/3)*(1/8)π(L²+b²)√(L²+b²)=(1/6)*(L²+b²)√(L²+b²).  (ответ).
Найдем объем пирамиды.
Опустим перпендикуляр SH из точки S на плоскость АВС. Основание этого  перпендикуляра Н попадет на прямую НВ в плоскости АВС вне треугольника  АВС. (То есть грань ASC не перпендикулярна плоскости основания).  Чтобы найти точку Н, надо в плоскости АВС провести перпендикуляры к  сторонам АВ и СВ в точки А и С. Их пересечение и даст нам искомую точку Н, в которую  проецируется вершина S пирамиды, так как по теореме, обратной теореме о  трех перпендикулярах, "прямая, проведенная в плоскости через основание  наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции". Значит  SH - искомая высота. В равнобедренном треугольнике АВС отрезок ВР - высота,  биссектриса и медиана этого треугольника.
Тогда в прямоугольном треугольнике ВАН угол <ABH=(β/2), а гипотенуза  НВ=b/Cos(β/2). В прямоугольном треугольнике SHB по Пифагору катет SH=√ (SB²-HB²) или
SH=√[(√(L²+b²))²-(b/Cos(β/2))²]=√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]
Объем пирамиды Vп=(1/3)*So*H. Или
Vп=(1/3)*b²Sinβ/2*√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]. Или
Vп=(1/6)*b²Sinβ*√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)].  (ответ).

Проверим решение на конкретных числах.
Пусть b=4, L=3, β=60.
Тогда SB=√(L²+b²)=5.
PB=√(16+4)=√12=2√3.
AH=4√3/3,  SH=√(9-48/9)=√33/3. (первый вариант).
HP=2√3/3,  SP=√(L²-CP²)=√5.
SH=√(SP²-HP²)=√(5-12/9)= √33/3 (второй вариант).
HB=HP+PB=8√3/3.
SH=√(SB²-HB²)=√(25-199/9)=√33/3. (третий вариант).
Из моего решения:
SH=√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]=√[(9+16)-(16*4/3]=√(11/3)=√33/3.

Допустим, что Вы имели в виду, что наклонные проведены к одной плоскости. Проведем из этой же точки перпендикуляр к данной плоскости и получим два прямоугольных треугольника, у которых гипотенузы a и b (наклонные), а катеты - перпендикуляр h к плоскости (общий) и проекции наклонных, равные 8см и 20см. тогда по Пифагору имеем: h²=a²-20² и h²=b²-8². Или a²-400=b²-64. Но нам дано, что a=b+8. Подставим эти значения в уравнение: (b+8)²-400=b²-64 или
b²+16b+64-400=b²-64. отсюда 16b=272 и b=17см. тогда а=b+8=25см.
ответ: длины наклонных равны 25см и 17см

Проверка: h=√(25²-400)=√225=15 и h=√(17²-64)=√225=15.