В треугольнике АВС проведены медианы АК и ВL, пересекающиеся в точке М. Пусть Р - середина отрезка АМ, а Q - середина отрезка ВМ. Известно, что площадь треугольника PCQ равна 10. Чему равна площадь треугольника АВС?

K и M - середины AB и BC соответственно, значит AK = KB и CM = MB. Но у нас дан равнобедренный треугольник, значит у него боковые стороны равны, из этого следует, что AK = KB = CM = MB
Рассмотрим ΔADK и ΔCDM
A = C (так как углы при основании р/б Δ-ка равны)
AK = CM (см пункт 1)
AD = DC (так как BD - медиана ΔABC)
ΔADK = ΔCDM (по 2 сторонам и углу между ними)
Рассмотрим ΔBKD и ΔBMD
BD - общая сторона
KB = BM (см пункт 1)
KD = DM (из равенства ΔADK и ΔCDM
ΔBKD = ΔBMD (по 3 сторонам)
Вроде бы все, но это можно решить проще (без доказательств равенства ADK и CDM):
BD - общая сторона
KD = BM (пункт 1)
угол KBD = MBD (по свойству медианы р/б Δ-ка)
ΔBKD = ΔBMD (по 2 сторонам и углу между ними)
Рисунок во вложении

1)В треугольнике АВС внешний угол при вершине С = 120 градусов, значит, внутренний угол = равен 180 - 60 = 120 градусов (т.к. внешний и внутренний углы смежные, а сумма смежных углов равна 180 градусов). Тогда, угол АСВ = 120 градусов.
2) По теореме косинусов:
АВ² = АС²  + ВС² - 2*АС*ВС*соsС
соsС = соs120 = соs(180-60) = -соs60 = -1/2
АВ² = АС²  + ВС² + АВ*ВС (после преображений и сокращения во второй части)
АВ² = (6√3)² + (6√3)² + 6√3*6√3
АВ² = 36*3 + 36*3 + 36*3
АВ² = 36 (3+3+3)
АВ² = 36*9
АВ = √36*√9
АВ = 6*3
АВ = 18 (см)
ответ: АВ = 18 см