в треугольнике АВС сторона АВ ровно 18 см сторона АС равно 12см Сторона АВ разделена на6 равных частей и через каждую точку деления проведены прямые параллельные ВС найдите длины отрезка на которые эти прямые делят сторону АС

Первая окружность построена на AB, как на диаметре, а вторая — на BC. Прямая, проходящая через точку A, повторно пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E, BD=25, BE=30. Найдите радиус меньшей из окружностей, если точки A, B и C лежат на одной прямой  ------------  
В условии не указано, каким образом  окружности касаются -  внутренним или внешним
 Внутреннее касание.   
ВD=25, ВЕ=30.  
О - центр меньшей окружности. 
 Угол АDВ =90º - опирается на диаметр.   
 угол ОЕD -=90º - радиус в точку касания.
  Проведем ОК||ЕD  
ЕDКО - прямоугольник.   
DК=ЕО= r  
ОК=ЕD=√(BE²-OE²)=√(900-625) 
 Рассмотрим ∆ ОВК  ОВ=r,    
ВК=DВ-DК=25-r  
По т.Пифагора   
OB²-BK²=OK²  
r ²-(25-r)²=900-625  
r² - (625- 50r+r²)=900-625   
50r=900  
r=18 
 ------  
Внешнее касание.  
ДЕ²=ВЕ²-ВД²  
ВК=ДЕ  
ВК²=ДЕ²=900-625  
ВО=ЕО=r  
ОК=r-25  
ВК²=ВО²-ОК² 
 900-625=r²-(r-25)² 
 900-625=r²-r²+50r-625⇒ 
 r =18   
 Но r не может быть 18, если ЕК=25.   
 Вывод: касание окружностей - внутреннее.  Возможно, именно для выяснения касания  условие дано в таком странном виде, если это не ошибка автора вопроса.  
 В приложении даны рисунки к обоим касания.

В четырехугольнике ABCD биссектриса угла А перпендикулярна биссектрисе угла В. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В сторону AD в точке N.
Докажите , что ABMN - ромб
-------- 
В ∆ АВN биссектриса АО перпендикулярна BN. ⇒,  
АО - его высота и медиана, и этот треугольник равнобедренный.  
АВ=AN  
В ∆ АВМ - биссектриса ВО перпендикулярна АМ. ⇒  
∆ АВМ - равнобедренный.  
АВ=ВМ.  
Но АВ=AN, значит, АN=BM 
 На том же основании АN=MN. 
В четырехугольнике АВМN все стороны равны,  диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. ⇒  
АВМN - ромб, ч.т.д.