В треугольнике АВС угол А на 400 больше угла С, а угол С в пять раз меньше угла В. Найдите углы треугольника.

Площадь поверхности сферы:Sс=4π(Rс)² =100π, отсюда Rс=NK=5.
Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса:2πr=6π, отсюда r=JK=3.
Треугольник SNK прямоугольный, так как NK -радиус в точку касания и пифагоров, так как катет=3, а гипотенуза=5.
Тогда второй катет JN=4.
JK - высота из прямого угла и по ее свойству: JK² =SJ*JN, отсюда
SJ= 9:4=2,25.
JO=JN+NO или JO=4+5=9.SО=SJ+JO или SО=2,25+9=11,25.
Треугольники JSK и OSМ подобны с коэффициентом подобия k=SJ/SO=1/5.
Тогда искомый радиус ОМ равен ОМ=JK *k или ОМ=15.
ответ: радиус конуса равен 15.

Даны координаты вершины треугольника А(1,-2),В(2,4),С(0,1).

Определяем длины сторон по векторам.

АВ (c)            BC (a)              AС (b)  

x y        x y        x y

1 6       -2 -3        -1 3

Длины сторон  АВ = √(1+36) = √37 = 6,08276253

                         BC = √(4+9) = √13  = ,605551275

                         AC = √(1+9) = √10 = 3,16227766

Периметр Р =      12,85059147

Полупериметр р =      6,425295733

Площадь по Герону      4,5

Площадь можно найти по формуле, которая даёт результат прямо по координатам вершин треугольника.

S = (1/2)*|(x2-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y2-y1)|.

S = 0,5 *((* 3) -  (-1* 6)) = 4,5.

1) угол АВС (можно обозначить просто угол В).

Углы по теореме косинусов        

cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)  34/ 38,47076812 = 0,883787916  

A = arccos 0,883787916 = 0,486899232 радиан 27,89727103 градуса

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac)  40 /43,863424 = 0,911921505  

B = arccos 0,911921505 = 0,422853926 радиан 24,22774532 градуса

cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)  -14/22,8035085 = -0,613940614  

C = arccos -0,613940614 = 2,231839496 радиан 127,8749837 градуса

                                         Сумма 180.

2)Площадь треугольника АВС дана выше.