В треугольнике АВС угол А в 2 раза меньше угла В, а угол С на 45° меньше угла В. а) Найдите углы треугольника. б) Сравните стороны АВ и ВС. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120°, АВ = 12 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.
ответ: 80 см²
Объяснение: Диагонали ромба - биссектрисы его углов. В прямоугольном треугольнике АВК отношение гипотенузы АВ к катету ВК равно отношению отрезков. на которые биссектриса угла А делит высоту ВК: АВ:АК=5:3 - это отношение гипотенузы и катета «египетского» треугольника. Тогда ВК:АВ=4:5, Т.к. ВК=3+5=8, АВ=AD=10 см. Ѕ=ВК•AD=8˙10=80 см²
Или:
В ∆ АВК биссектриса АМ делит сторону ВК в отношении сторон, между которыми она проведена. Т.е. АВ:АК=ВМ:МК. Примем коэффициент отношения сторон равным а. Тогда АК=3а, АВ=5а.
По т.Пифагора АВ²-АК²=ВК².
ВК=ВМ+МК=5+3=8⇒
25а²-9а²=64
16а²=64, а*=4, а=√4=2
Сторона ромба =2•5=10
Площадь ромба равна произведению высоты на сторону.
Ѕ=АD•АК=10•8=80 см²
ВО = ДО = 5 см
АМ = СМ = √(9²+12²) =√(81+144) = √225 = 15 см
МС = МД = √(5²+12²) =√(25+144) = √169 = 13 см
Расстояния между основаниями? Это как? Стороны и диагонали ромба?
AB = BC = СД = АД = √(9²+5²) =√(81+25) = √106 см
АС и ВД даны по условию.
---
2 варианта, к сожалению!
1) АС - гипотенуза
AO = AC/2 = 7,5 см
О - центр описанной окружности треугольника АВС и поэтому
АК = ВК = СК = √(7,5² + 8,5²) = √(15² + 17²)/2 = √(225+289)/2 = √514/2 см
2) AB - гипотенуза
АВ = √(8² + 15²) = √(64+225) = √289 = 17 см
AO = AВ/2 = 8,5 см
АК = ВК = СК = √(8,5² + 8,5²) = 8,5√2 см