В треугольнике АВС высота ВК делит сторону АС на отрезки АК = 5см и КС = 11см. Найдите площадь треугольника АВС,
если ∠КВС = 30 градусов

1) Найдём диагонали основания по Пифагору.

D = √(20² - 16²) = √(400 – 256) = √144 = 12

d = √(18² - 16²) = √(324 – 256) = √68

a = √(D +d)/2

a = √(12² + (√68)²)/2 = √(144 + 68)/2 =√212/2 = √53

ответ: √53 дм.

2) Основания – квадраты. D – диагональ большего основания, d – диагональ меньшего основания.

Диагональное сечение – трапеция высотой 4 и с основаниями D и d.

D = 8√2; d = 2√2

S = 1/2*(8√2 + 2√2)*4 = 1/2* 10√2* 4 = 20√2

ответ: 20√2 дм².

3) ABC – равносторонний треугольник, EO – радиус вписанной окружности, r = a√3/6.

EO = 4√3/6 = 2√3/3

DE – апофема, ∠EDO = 90 – 60 = 30°

⟹ DE = 2EO = 4√3/3

DO – высота пирамиды, DO = √(DE² - EO²)

DO = √((4√3/3)² - (2√3/3)²) = √(16*3/9 – 4*3/9) = √(48/9 – 12/9) = √(36/9) = √4 = 2

V = ha²/4√3

V = 2*4²/4√3 = 2*16/4√3 = 8/√3 = 8√3/3

Sосн. = √3/4 * a²; Sбок. = 1/2PL

S осн. = 4²*√3/4 = 16√3/4 = 4√3; Sбок. = 1/2*16*4√3/3 = 32√3/3

S = 4√3 + 32√3/3 = 12√3/3 + 32√3/3 = 48√3/3 = 16√3

ответ: V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².

Центры четырёх больших шаров и точка касания малого плоскости образуют правльную четырёхугольную пирамиду с высотой 6 и стороной основания 12
Диагональ основания этой пирамиды (по т. Пифагора)
d² = 12² + 12² 
d = 12√2 
Сечение этой пирамиды проходящее через вершину и диагональ основания изображено на рисунке
АС = 12√2 
АВ = 6√2 
То, что ВД = R - так совпало, и до решения нам наперёд неизвестно!
А вот ДЕ = R - это уже совершенно точно
и ВД = 6 - R
В прямоугольном треугольнике АВД по т. Пифагора
АД² = АВ² + ВД²
(6 + R)² = (6√2)² + (6 - R)²
36 + 12R + R² = 36*2 + 36 - 12R + R²
24R = 72
R = 3