В треугольнике CDE ∠С = 30°, ∠D = 45°, СЕ = 5√2. Найдите DE. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.
Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), В(0; 6), С(4; 2).
с полным решением плз
1. Найдите DE в треугольнике CDE.
В треугольнике CDE дано, что ∠С = 30°, ∠D = 45° и СЕ = 5√2. Для начала, построим треугольник CDE и отметим известные значения:
С E
\ /
\ /
\ /
D
Угол ∠СЕD равен 180° - 30° - 45° = 105°. Закон синусов гласит:
sin(∠СЕD) / СЕ = sin(∠C) / DE.
Подставим значения:
sin(105°) / 5√2 = sin(30°) / DE.
Упростим равенство:
(√2 / 2) / 5√2 = 1/2 / DE.
Подставим численные значения:
1 / 10 = 1/2 / DE.
Переставим делимую часть равенства:
DE = 10 * (1/2) = 5.
Итак, DE равно 5.
2. Найдите третью сторону треугольника, где две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°.
Для этого воспользуемся законом косинусов:
С^2 = A^2 + B^2 - 2*A*B*cos(C),
где A и B - известные стороны треугольника, а С - третья сторона, угол между которой и известными сторонами равен C.
Подставим значения:
С^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos(60°).
Упростим выражение:
С^2 = 25 + 49 - 70*cos(60°).
С^2 = 74 - 70*(1/2).
С^2 = 74 - 35.
С^2 = 39.
Извлечем квадратный корень:
C = √39.
C ≈ 6.24.
Итак, третья сторона треугольника составляет примерно 6.24 см.
3. Что определяет вид треугольника АВС, если А(3; 9), В(0; 6), С(4; 2)?
Для определения вида треугольника, необходимо вычислить длины его сторон и углы.
Длины сторон AB, BC и CA можно найти с помощью формулы эвклидова расстояния:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B.
AB = √((0 - 3)^2 + (6 - 9)^2) = √((-3)^2 + (-3)^2) = √(9 + 9) = √18 ≈ 4.24.
BC = √ ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((4 - 0)^2 + (2 - 6)^2) = √(4^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66.
CA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((4 - 3)^2 + (2 - 9)^2) = √(1^2 + (-7)^2) = √(1 + 49) = √50 ≈ 7.07.
Теперь можно найти углы треугольника АВС, используя закон косинусов. Например, угол ∠A вычисляется следующим образом:
cos(∠A) = (BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 * BC * CA).
Подставим значения:
cos(∠A) = (5.66^2 + 7.07^2 - 4.24^2) / (2 * 5.66 * 7.07).
Упростим выражение:
cos(∠A) = (31.98 + 49.98 - 17.98) / (79.94).
cos(∠A) = 63.98 / 79.94.
cos(∠A) ≈ 0.8006.
Найдем значение угла ∠A, обратившись к тригонометрическому кругу или к таблице значений косинуса. Например, возьмем обратный косинус 0.8006:
∠A ≈ 38.95°.
Аналогично найдем углы ∠B и ∠C.
Итак, треугольник АВС имеет стороны длиной 4.24 см, 5.66 см и 7.07 см, а углы при вершинах соответственно около 39°, 74° и 66°. Исходя из этих данных, можно утверждать, что треугольник АВС является остроугольным.