В основе прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 и боковой стороной 4 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45. Найти объем призмы.
Объяснение:
АВСD-трапеция,∠А=∠D=60°, АС-биссектриса ∠А, DВ-биссектриса ∠D, АВ=СD=4 см, ∠ВDВ₁=45°.
Т.к. DВ-биссектриса ∠D, то ∠АDВ=30°,
ΔАВD, ∠А=60° , ∠АDВ=30° ⇒ ∠АВD=90°. Поэтому ΔАВD-прямоугольный : tg60°=ВD/ВА или √3=ВD/4 или ВD=4√3 см
cos60°=ВА/АD или 0,5=4/АD , АD=8 см.
АD║ВС,АD-секущая ⇒ ∠АDВ=∠DВС=30° как накрест лежащие.Поэтому ΔDВС- равнобедренный и СВ=СD=4 см.
ΔВDВ₁-прямоугольный и равнобедренный( ∠ВDВ₁=45° ⇒∠ВВ₁D=45°), поэтому ВВ₁=ВD=4√3 см.
3 пары равных треугольников дна рисунке.
Объяснение:
1.
∠AEB = 180° - ∠BED, так как эти углы смежные,
∠AEC = 180° - ∠CED, так как эти углы смежные,
по условию ∠BED = ∠CED, значит и ∠АЕВ = ∠АЕС.
2.
Рассмотрим ΔАЕВ и ΔАЕС:
∠ВАЕ = ∠САЕ по условию,
∠АЕВ = ∠АЕС (доказано в п. 1),
АЕ - общая сторона, значит
ΔАЕВ = ΔАЕС по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, следовательно АВ = АС и ВЕ = СЕ.
3.
Рассмотрим ΔBED и ΔCED:
ВЕ = СЕ (доказано в п. 2),
∠BED = ∠CED по условию,
ED - общая сторона, значит
ΔBED = ΔCED по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что BD = CD.
4.
Рассмотрим ΔABD и ΔACD:
АВ = АС (доказано в п. 2),
BD = CD (доказано в п. 3),
AD - общая сторона, значит
ΔABD и ΔACD по трем сторонам.
Задача
В основе прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 и боковой стороной 4 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45. Найти объем призмы.
Объяснение:
АВСD-трапеция,∠А=∠D=60°, АС-биссектриса ∠А, DВ-биссектриса ∠D, АВ=СD=4 см, ∠ВDВ₁=45°.
Т.к. DВ-биссектриса ∠D, то ∠АDВ=30°,
ΔАВD, ∠А=60° , ∠АDВ=30° ⇒ ∠АВD=90°. Поэтому ΔАВD-прямоугольный : tg60°=ВD/ВА или √3=ВD/4 или ВD=4√3 см
cos60°=ВА/АD или 0,5=4/АD , АD=8 см.
АD║ВС,АD-секущая ⇒ ∠АDВ=∠DВС=30° как накрест лежащие.Поэтому ΔDВС- равнобедренный и СВ=СD=4 см.
ΔВDВ₁-прямоугольный и равнобедренный( ∠ВDВ₁=45° ⇒∠ВВ₁D=45°), поэтому ВВ₁=ВD=4√3 см.
V=P(осн)*h.
V=(4+4+4+8)*4√3 =80√3 ( см³)