2) В основании ромб ( см. рис.) Р=4a ⇒ 4a=40 ⇒ a=10 Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОD По теореме Пифагора АО²= AD²-DO²=10²-6²=100-36=64=8² Значит, АС= 16 см - это бОльшая диагональ, а BD=12 см - мЕньшая Из треугольника АСС₁ по теореме Пифагора: СС₁²=АС₁²-АС²=20²-16²=(20-16)(20+16)=4·36=144=12² CC₁=12 V=S(осн)·H= (1/2) AC·BD·CC₁=(1/2)·12·16·12=1152 куб. см
3) Пирамида правильная, в основании равносторонний треугольник. Проекция вершины D - точка О (центр вписанной окружности) Из прямоугольного треугольника ADO: Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы АО=3 см АО=R=3 cм ВО²=АВ²-АО²=6²-3²=27 ВО=3√3 см H=BO=3√3 cм
В решении используется свойство треугольников, имеющих общую высоту: площади треугольников, имеющих общую высоту относятся как основания, к которым проведена эта высота. Сами общие высоты на рисунках не проведены.
ΔВОК и ΔВОС имеют общую высоту (из вершины В): Sbok : Sboc = OK : OC = 10 : 45 = 2 : 9
ΔСОВ и ΔCOD имеют общую высоту (из вершины С): Scob : Scod = BO : OD = 45 : 54 = 5 : 6
Проведем ВЕ║АС до пересечения с прямой СК. . ΔЕВО подобен ΔСВО по двум углам: ЕО : ОС = ВО : OD EO = (OC · BO) / OD EO = (5x · 9y) / (6x ) = 45y / 6 = 15y /2
EK = EO - KO = 15y / 2 - 2y = 11y / 2
ΔEBK подобен ΔСАК по двум углам: ВК : КА = ЕК : КС = (11y/2) : (11y) = 1 : 2
ΔCBK и ΔСАК имеют общую высоту (из вершины С): Scbk : Scak = BK : KA = 1 : 2
АС=СС₁=9√2/2=4,5√2
H=CC₁=4,5√2
Треугольник АВС - равнобедренный, прямоугольный.
АВ=ВС=4,5
V=S(осн)·H=1/2 AB·BC·H=729√2/8 куб. ед
2) В основании ромб ( см. рис.) Р=4a ⇒ 4a=40 ⇒ a=10
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АОD
По теореме Пифагора АО²= AD²-DO²=10²-6²=100-36=64=8²
Значит, АС= 16 см - это бОльшая диагональ, а BD=12 см - мЕньшая
Из треугольника АСС₁ по теореме Пифагора:
СС₁²=АС₁²-АС²=20²-16²=(20-16)(20+16)=4·36=144=12²
CC₁=12
V=S(осн)·H= (1/2) AC·BD·CC₁=(1/2)·12·16·12=1152 куб. см
3) Пирамида правильная, в основании равносторонний треугольник.
Проекция вершины D - точка О (центр вписанной окружности)
Из прямоугольного треугольника ADO:
Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы
АО=3 см АО=R=3 cм
ВО²=АВ²-АО²=6²-3²=27
ВО=3√3 см
H=BO=3√3 cм
Площадь равностороннего треугольника равна
Сами общие высоты на рисунках не проведены.
ΔВОК и ΔВОС имеют общую высоту (из вершины В):
Sbok : Sboc = OK : OC = 10 : 45 = 2 : 9
ΔСОВ и ΔCOD имеют общую высоту (из вершины С):
Scob : Scod = BO : OD = 45 : 54 = 5 : 6
Проведем ВЕ║АС до пересечения с прямой СК.
.
ΔЕВО подобен ΔСВО по двум углам:
ЕО : ОС = ВО : OD
EO = (OC · BO) / OD
EO = (5x · 9y) / (6x ) = 45y / 6 = 15y /2
EK = EO - KO = 15y / 2 - 2y = 11y / 2
ΔEBK подобен ΔСАК по двум углам:
ВК : КА = ЕК : КС = (11y/2) : (11y) = 1 : 2
ΔCBK и ΔСАК имеют общую высоту (из вершины С):
Scbk : Scak = BK : KA = 1 : 2
Scak = 2 · Scbk = 2 · 55 = 110
Sabc = Scbk + Scak = 55 + 110 = 165