В треугольнике РКС высота КЕ делит сторону РС на отрезки РЕ и ЕС соответственно равные 10 см и 12 см. Угол РКЕ равен 45о. Найдите площадь треугольника РКС
Задание1) Угол КАВ, образованный касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине величины дуги АВ, заключённой между его сторонами, центральный угол АОВ тоже опирается на дугу АВ, а угол АСВ- вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, поэтому равен половине величины центрального угла.
Т.о., углы АСВ и КАВ равны.
Задание 2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то они равны, пусть в треугольнике АСВ углы при основании АВ углы А и В, например равны β, а угол С равен α, в сумме они составляют 2β+α=180°⇒α=180-2β; В треугольнике АВК угол А равен β,угол А равен α, чтобы найти угол К, надо от 180°отнять (α+β), заменим α=180-2β. получим 180-(180-2β)-β=180°-180°+2β-β=β.
Значит, при основании ВК есть два угла, равные β. По признаку ΔАВК- равнобедренный.
Задание 3. Найдем площадь треугольников АСВ и КАВ. У них есть по паре равных углов. значит, по 2 признаку подобия КАВ и АСВ подобны, значит, сходственные стороны у них пропорциональны. ВС/АВ=АС/АК=к- коэффициент пропорциональности. Синусы равных углов равны.
Площадь треугольника АСВ равна (BC*АС*sin∠ACB)=(BC²*sin∠ACB); площадь треугольника КАВ равна (АК*АВ*sin∠КАВ)=(АВ²*sin∠КАВ);
Найдем теперь отношение площадей
sΔАСВ/sΔКАВ=(BC²*sin∠ACB)/(АВ²*sin∠КАВ)=к², откуда видно, что от величины угла АСВ при данном условии отношение площадей не зависит.
а) по следствию из теоремы синусов:
a / sin∠A = 2R
sin∠A = a / (2R) = 5/8
По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.
б) S = 1/2 · ab·sin∠C
sin∠C = 2S/(ab) = 24 / 30 = 4/5
По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.
в) по теореме косинусов:
АС² = BC² + AB² - 2·BC·AB·cos∠ABC
169 = BC² + 64 - 16 · BC · (-1/2)
BC² + 8·BC - 105 = 0
D = 64 + 420 = 484 = 22²
BC = (- 8 + 22)/2 = 7 или BC = (- 8 - 22)/2 = - 15 - не подходит по смыслу задачи
Так как третья сторона находится однозначно, то и треугольник задан однозначно.
Задание1) Угол КАВ, образованный касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине величины дуги АВ, заключённой между его сторонами, центральный угол АОВ тоже опирается на дугу АВ, а угол АСВ- вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, поэтому равен половине величины центрального угла.
Т.о., углы АСВ и КАВ равны.
Задание 2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то они равны, пусть в треугольнике АСВ углы при основании АВ углы А и В, например равны β, а угол С равен α, в сумме они составляют 2β+α=180°⇒α=180-2β; В треугольнике АВК угол А равен β,угол А равен α, чтобы найти угол К, надо от 180°отнять (α+β), заменим α=180-2β. получим 180-(180-2β)-β=180°-180°+2β-β=β.
Значит, при основании ВК есть два угла, равные β. По признаку ΔАВК- равнобедренный.
Задание 3. Найдем площадь треугольников АСВ и КАВ. У них есть по паре равных углов. значит, по 2 признаку подобия КАВ и АСВ подобны, значит, сходственные стороны у них пропорциональны. ВС/АВ=АС/АК=к- коэффициент пропорциональности. Синусы равных углов равны.
Площадь треугольника АСВ равна (BC*АС*sin∠ACB)=(BC²*sin∠ACB); площадь треугольника КАВ равна (АК*АВ*sin∠КАВ)=(АВ²*sin∠КАВ);
Найдем теперь отношение площадей
sΔАСВ/sΔКАВ=(BC²*sin∠ACB)/(АВ²*sin∠КАВ)=к², откуда видно, что от величины угла АСВ при данном условии отношение площадей не зависит.