Дано: АВСD – ромб, BD пересекается с AC в точке O. Доказать: что BD перпендикулярна AC, и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам например, что угол ВАС = углу DАС. Доказательство: 1)АB = АD по определению ромба,поэтому треугольник ВАD равнобедренный; 2)так как ромб – параллелограмм, его диагональ пересекаются и делятся пополам; 3)АО – медиана равнобедренного ВАD; 4)АО – высота и биссектриса; 5)поэтому BD перпендикулярно AC и треугольник ВАС = треугольник DАС. Теорема доказана.
Он прямоугольный (BH - высота)
Найдём ∠BAH = 90° - ∠ABH = 90° - 40° = 50°
∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = 40° + 10° = 50°
∠BAH = ∠ABC = 50° ⇒ ΔABC - равнобедренный.
Угол ∠BCH из ΔBCH = 90° - ∠HBC = 90° - 10° = 80°
CD - высота, проведённая к AB
AB в ΔABC является основанием ⇒ CD не только высота, но и биссектриса ⇒ ∠BCD = ∠DCA = 80°/2 = 40°
Рассмотрим ΔBOC.
∠BCD = ∠BCO = 40°
∠HBC = ∠OBC = 10°
Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ ∠BOC + ∠OBC + ∠BCO = 180°
∠BOC + 40° + 10° = 180°
∠BOC = 180° - 50°
∠BOC = 130°