Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические понятия и формулы.
Первым шагом, для удобства, введем некоторые обозначения:
- Пусть R будет радиусом большего основания усеченного конуса, т.е. R = 2см.
- Пусть r будет радиусом меньшего основания усеченного конуса, т.е. r = 1см.
- Пусть h будет искомой высотой усеченного конуса.
В задаче говорится, что вписана сфера в усеченный конус. Что это означает? Это значит, что сфера касается всех трех граней усеченного конуса: двух боковых граней и основания. Из этого следует, что центр сферы должен лежать на оси усеченного конуса.
Также, поскольку оси усеченного конуса проходят через центры его оснований, мы можем заметить, что центр сферы должен лежать на отрезке, соединяющем эти две точки. Обозначим это расстояние между центрами оснований как d. Мы можем найти d, используя основные свойства геометрических фигур.
Теперь мы можем приступить к решению задачи.
Шаг 1: Найдем d
Для этого введем понятие усеченной высоты. Усеченная высота - это расстояние между вершиной конуса и плоскостью, на которую мы усекаем его. Обозначим это расстояние как h'. Мы можем найти h' с помощью теоремы Пифагора.
Используя теорему Пифагора для правильного треугольника, образованного диаметром сферы и двумя отрезками, соединяющими его концы с вершиной конуса, получим:
(h')^2 = (R-r)^2 + (b)^2
где b - это расстояние между центром основания сферы и одним из концов диаметра. Поскольку конус является симметричным объектом, b равно половине расстояния между центром большего основания и центром меньшего основания. То есть, b = (R-r)/2.
Подставим значение b в формулу для h', чтобы получить:
(h')^2 = (R-r)^2 + ((R-r)/2)^2
Подставим значения R = 2см и r = 1см, и решим эту формулу для h'.
Первым шагом, для удобства, введем некоторые обозначения:
- Пусть R будет радиусом большего основания усеченного конуса, т.е. R = 2см.
- Пусть r будет радиусом меньшего основания усеченного конуса, т.е. r = 1см.
- Пусть h будет искомой высотой усеченного конуса.
В задаче говорится, что вписана сфера в усеченный конус. Что это означает? Это значит, что сфера касается всех трех граней усеченного конуса: двух боковых граней и основания. Из этого следует, что центр сферы должен лежать на оси усеченного конуса.
Также, поскольку оси усеченного конуса проходят через центры его оснований, мы можем заметить, что центр сферы должен лежать на отрезке, соединяющем эти две точки. Обозначим это расстояние между центрами оснований как d. Мы можем найти d, используя основные свойства геометрических фигур.
Теперь мы можем приступить к решению задачи.
Шаг 1: Найдем d
Для этого введем понятие усеченной высоты. Усеченная высота - это расстояние между вершиной конуса и плоскостью, на которую мы усекаем его. Обозначим это расстояние как h'. Мы можем найти h' с помощью теоремы Пифагора.
Используя теорему Пифагора для правильного треугольника, образованного диаметром сферы и двумя отрезками, соединяющими его концы с вершиной конуса, получим:
(h')^2 = (R-r)^2 + (b)^2
где b - это расстояние между центром основания сферы и одним из концов диаметра. Поскольку конус является симметричным объектом, b равно половине расстояния между центром большего основания и центром меньшего основания. То есть, b = (R-r)/2.
Подставим значение b в формулу для h', чтобы получить:
(h')^2 = (R-r)^2 + ((R-r)/2)^2
Подставим значения R = 2см и r = 1см, и решим эту формулу для h'.
(h')^2 = (2-1)^2 + ((2-1)/2)^2
(h')^2 = 1 + (1/2)^2
(h')^2 = 1 + 1/4
(h')^2 = 5/4
Теперь найдем h, которая является высотой усеченного конуса. Мы знаем, что
(h')^2 = h^2 + (R-r)^2.
Подставим h' и значения R и r, и решим эту формулу для h.
(5/4) = h^2 + (2-1)^2
5/4 = h^2 + 1
h^2 = 5/4 - 1
h^2 = 5/4 - 4/4
h^2 = 1/4
Таким образом, h = √(1/4) = 1/2.
Ответ: Высота усеченного конуса равна 1/2 см.