Варіант ІІ Початковий та середній рівні
1. Знайдіть діаметр кола, радіус якого дорівнює 8 см. А) 2 см; Б) 4 см; В) 16 см; Г) 8 см.
2. Кола, радіуси яких 6 см і 2 см, мають зовнішній дотик. Знайдіть відстань між їх центрами.
А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.
3. З однієї точки до кола проведено дві дотичні. Відрізок однієї з дотичних дорівнює 14 см. Знайдіть відрізок другої дотичної.
А) 3,5 см; Б) 5 см; В) 7 см; Г) 14 см.
4. Точка О – центр кола, MN – його хорда. Знайдіть ∠MON якщо ∠OMN=60°.
А) 20°; Б) 40°; В) 50°; Г) 60°.
5. Радіус кола дорівнює 4 см. Як розміщені пряма а і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює 5 см?
А) пряма перетинає коло у двох точках;
Б) пряма є дотичною до кола;
В) пряма не має з колом спільних точок;
Г) неможливо визначити.
6. Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться за
межами трикутника, цей трикутник є...
А) прямокутним; Б) гострокутнім; В) тупокутнім; Г) рівностороннім.
Достатній рівень
7. Побудуйте рівносторонній трикутник, основа якого дорівнює 50 мм, а кут при вершині – 60°.
8. Два кола мають внутрішній дотик. Відстань між їх центрами 20 см, Знайдіть радіуси кіл, якщо один з них у тричі більший за інший.
Високий рівень
9. Відстань між центрами двох кіл, що дотикаються, дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 3∶2. Розгляньте всі можливі випадки.
Построение сечения.
1. Проводим пряную ЕF до пересечения с продолжениями отрезков
СВ (F1) и СD (Е1). ЕF -линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания.
2. Проводим прямую НF1, пересечение этой прямой с ребром ВВ1 -
точка G. GH - линия пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С.
3. Соединим точки F и G. FG - линия пересечения секущей плоскости и грани АА1В1В.
4. Плоскости АВСD и А1В1С1D1 параллельны, значат линия НК пересечения секущей плоскости и грани А1В1С1D1 будет проходить через точку Н параллельно прямой ЕF.
5. Проводим прямую КЕ1, пересечение этой прямой с ребром DD1 -точка Р. КР -линия пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C.
6. Соединим точки Р и Е. РЕ -линия пересечения секущей плоскости и грани АА1D1D.
Нахождение угла.
Угол между плоскостью сечения EFGHKP и плоскостью А1ВD -угол
A1RQ = α, образованный пересечением указанных плоскостей плоскостью, перпендикулярной к обеим плоскостям, то есть перпендикулярной к линии пересечения МN данных двух плоскостей.
Заметим, что этот угол равен углу А1ОС1, так как QL параллельна С10
(так как LО=С1Q, потому что EF - средняя линия прямоугольного треугольника АЕF и АL=LO=C1Q). Половина диагонали основания
(квадрата со стороной а) СО равна а*√2/2.
А тангенс угла С10С равен СС1/СО = а*2/а*√2 = √2.
По таблице тангенсов угол С10С ≈ 55°. Значит и симметричный с ним угол А1ОА =55°, их сумма равна 110°, а дополняющий эти два угла до развернутого искомый угол равен 180°-110°=70°.
ответ: угол между плоскостями FGНКРЕ и A1BD ≈ 70°.
ответ в приложенном рисунке.