Вариант 1 1. Дано: ВО = DO, ZABC = 45°, 2BCD = 55°, 2AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: 2D. Доказать: ДАВО ДСDO. 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника ABC. 3. Точки Ви D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники ABC и ADC равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. Дано: ZEPM = 90°, ZMEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы B D M А с E P Рис. 5.89 Рис. 5.90 PD.
1. Для доказательства DA || DO, нам нужно использовать свойства параллельных линий и равных углов.
Поскольку ZABC = 45°, то ZBCA = 45° (так как треугольник ABC - равнобедренный).
Также угол 2BCD = 55°.
Пользуясь свойством вертикальных углов, мы можем сказать, что угол CAB = 55°.
Таким образом, треугольники ABC и BCD подобны по углам (имеют одинаковые углы).
В равнобедренном треугольнике АВС угол CAB = 55°, поэтому угол BAC = (180° - 55°)/2 = 62.5°.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Угол 2AOC = 100°, значит угол ACO = (180° - 100°)/2 = 40°.
И также угол OAC = (180° - 40°)/2 = 70°.
Теперь рассмотрим треугольник ACO. Угол 2AOC = 100°, поэтому угол ACO = (180° - 100°)/2 = 40°.
И также угол OAC = (180° - 40°)/2 = 70°.
Угол CAB = 62.5°, а угол OAC = 70°. Значит эти два угла не равны друг другу.
Таким образом, мы получаем противоречие, и требуемое доказательство не верно.
2. В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 42°. Поскольку треугольник равнобедренный, то угол A также равен 42°.
Для нахождения третьего угла треугольника ABC, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника.
Сумма углов треугольника всегда равна 180°.
Итак, у нас уже есть два угла ABC = 42° и BCA = 42°.
Теперь мы можем использовать сумму углов треугольника, чтобы найти третий угол.
Сумма углов ABC, BCA и CAB должна быть равна 180°.
Подставляем значения:
42° + 42° + CAB = 180°
84° + CAB = 180°
CAB = 180° - 84°
CAB = 96°
Таким образом, два других угла треугольника ABC равны 42° и 96°.
3. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник ADC, которые оба равносторонние.
Поскольку треугольники равнысторонние, все стороны равны.
Таким образом, AB = BC = CA и AD = DC = CD.
Мы должны доказать, что AB || CD.
Допустим, AB и CD не параллельны. Тогда существует точка E, такая что AE пересекает CD.
Поскольку треугольник ABC равносторонний, угол ABC = 60°.
А также угол BAC = (180° - 60°)/2 = 60°.
Также, поскольку треугольник ADC равносторонний, угол ADC = 60°.
А также угол ACD = (180° - 60°)/2 = 60°.
Таким образом, у нас есть следующая информация:
AB || CD
угол ABC = 60°
угол BAC = 60°
угол ADC = 60°
угол ACD = 60°
Опять же, рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 60°, угол BAC = 60°, а угол BCA = 60°.
Сумма этих трех углов должна быть равна 180°.
Подставляем значения:
60° + 60° + 60° = 180°
Таким образом, у нас возникает противоречие, и предположение, что AB не параллельна CD, неверно.
Следовательно, мы можем заключить, что AB || CD.
4.
а) Для нахождения длины отрезка ЕР нам нужно использовать знания о прямоугольных треугольниках и тригонометрии.
Из рисунка 5.90 видим, что ZEPM = 90°.
Зная угол ZEPM, мы можем использовать синус этого угла, чтобы найти длину отрезка EP.
sin(30°) = ME / EP
sin(30°) = 1/2 (поскольку sin(30°) = 0.5)
EP = 2 * ME = 2 * 10 = 20 см
Таким образом, длина отрезка EP заключена между 20 и 21 см.
б) Для нахождения длины медианы BDM нам опять нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрии.
Из рисунка 5.90 видим, что ZEPM = 90°.
Из треугольника BPM с углом EPB = 30°, мы знаем длину отрезка EP = 20 см (по пункту а).
Также, мы знаем угол BME = 90° (по заданию).
Теперь мы можем использовать тангенс угла BME, чтобы найти длину отрезка BM.
tan(90°) = BE / ME
tan(90°) = BM / 10
BM = ME * tan(90°) = 10 * ∞ (так как tang(90°) = ∞)
Таким образом, длина медианы BM равна бесконечность.
Аналогично, для нахождения длины медианы MDA нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрии.
Из треугольника AMD с углом EAD = 30°, мы знаем длину отрезка AD = 10 см.
Также, мы знаем угол MED = 90° (по заданию).
Теперь мы можем использовать тангенс угла MED, чтобы найти длину отрезка DM.
tan(90°) = DE / ME
tan(90°) = DM / 10
DM = ME * tan(90°) = 10 * ∞ (так как tan(90°) = ∞)
Таким образом, длина медианы DM также равна бесконечности.
Надеюсь, что эти подробные ответы объяснили и помогли понять решение каждого вопроса. Если есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне.
Поскольку ZABC = 45°, то ZBCA = 45° (так как треугольник ABC - равнобедренный).
Также угол 2BCD = 55°.
Пользуясь свойством вертикальных углов, мы можем сказать, что угол CAB = 55°.
Таким образом, треугольники ABC и BCD подобны по углам (имеют одинаковые углы).
В равнобедренном треугольнике АВС угол CAB = 55°, поэтому угол BAC = (180° - 55°)/2 = 62.5°.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Угол 2AOC = 100°, значит угол ACO = (180° - 100°)/2 = 40°.
И также угол OAC = (180° - 40°)/2 = 70°.
Таким образом, у нас есть следующая информация:
ZABC = 45°
2BCD = 55°
2AOC = 100°
ZBCA = 45°
CAB = 62.5°
ACO = 40°
OAC = 70°
Теперь рассмотрим треугольник ACO. Угол 2AOC = 100°, поэтому угол ACO = (180° - 100°)/2 = 40°.
И также угол OAC = (180° - 40°)/2 = 70°.
Угол CAB = 62.5°, а угол OAC = 70°. Значит эти два угла не равны друг другу.
Таким образом, мы получаем противоречие, и требуемое доказательство не верно.
2. В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 42°. Поскольку треугольник равнобедренный, то угол A также равен 42°.
Для нахождения третьего угла треугольника ABC, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника.
Сумма углов треугольника всегда равна 180°.
Итак, у нас уже есть два угла ABC = 42° и BCA = 42°.
Теперь мы можем использовать сумму углов треугольника, чтобы найти третий угол.
Сумма углов ABC, BCA и CAB должна быть равна 180°.
Подставляем значения:
42° + 42° + CAB = 180°
84° + CAB = 180°
CAB = 180° - 84°
CAB = 96°
Таким образом, два других угла треугольника ABC равны 42° и 96°.
3. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник ADC, которые оба равносторонние.
Поскольку треугольники равнысторонние, все стороны равны.
Таким образом, AB = BC = CA и AD = DC = CD.
Мы должны доказать, что AB || CD.
Допустим, AB и CD не параллельны. Тогда существует точка E, такая что AE пересекает CD.
Поскольку треугольник ABC равносторонний, угол ABC = 60°.
А также угол BAC = (180° - 60°)/2 = 60°.
Также, поскольку треугольник ADC равносторонний, угол ADC = 60°.
А также угол ACD = (180° - 60°)/2 = 60°.
Таким образом, у нас есть следующая информация:
AB || CD
угол ABC = 60°
угол BAC = 60°
угол ADC = 60°
угол ACD = 60°
Опять же, рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 60°, угол BAC = 60°, а угол BCA = 60°.
Сумма этих трех углов должна быть равна 180°.
Подставляем значения:
60° + 60° + 60° = 180°
Таким образом, у нас возникает противоречие, и предположение, что AB не параллельна CD, неверно.
Следовательно, мы можем заключить, что AB || CD.
4.
а) Для нахождения длины отрезка ЕР нам нужно использовать знания о прямоугольных треугольниках и тригонометрии.
Из рисунка 5.90 видим, что ZEPM = 90°.
Зная угол ZEPM, мы можем использовать синус этого угла, чтобы найти длину отрезка EP.
sin(30°) = ME / EP
sin(30°) = 1/2 (поскольку sin(30°) = 0.5)
EP = 2 * ME = 2 * 10 = 20 см
Таким образом, длина отрезка EP заключена между 20 и 21 см.
б) Для нахождения длины медианы BDM нам опять нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрии.
Из рисунка 5.90 видим, что ZEPM = 90°.
Из треугольника BPM с углом EPB = 30°, мы знаем длину отрезка EP = 20 см (по пункту а).
Также, мы знаем угол BME = 90° (по заданию).
Теперь мы можем использовать тангенс угла BME, чтобы найти длину отрезка BM.
tan(90°) = BE / ME
tan(90°) = BM / 10
BM = ME * tan(90°) = 10 * ∞ (так как tang(90°) = ∞)
Таким образом, длина медианы BM равна бесконечность.
Аналогично, для нахождения длины медианы MDA нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрии.
Из треугольника AMD с углом EAD = 30°, мы знаем длину отрезка AD = 10 см.
Также, мы знаем угол MED = 90° (по заданию).
Теперь мы можем использовать тангенс угла MED, чтобы найти длину отрезка DM.
tan(90°) = DE / ME
tan(90°) = DM / 10
DM = ME * tan(90°) = 10 * ∞ (так как tan(90°) = ∞)
Таким образом, длина медианы DM также равна бесконечности.
Надеюсь, что эти подробные ответы объяснили и помогли понять решение каждого вопроса. Если есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне.