Вариант №1
1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в
точке О, причем ОК = 9 см. Найди расстояние от точки О до прямой MN.
2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и
меньшего катета равна 42 см. Найти длину гипотенузы.
3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 450, гипотенуза 16 см. Найти
медиану. проведенную к гипотенузе.
4.
4. В прямоугольном треугольнике АВС ( С = 900) биссектрисы CD и AE
пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 1150. Найти меньший острый
угол треугольника АВС.
5. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой
углы, один из которых равен 70°. Найти острые углы этого треугольника.​

Объяснение: если угол КЛМ=60°, то угол NLM=30°. Рассмотрим ∆ОLM. Он прямоугольный, где OM и OL- катеты, а LM-гипотенуза. Катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Напротив него лежит катет МР=10дм, тогда гипотенуза LM=10×2=20дм. Мы нашли гипотенузу ∆OLM, и она же является стороной ромба. Теперь найдём периметр ромба. Периметр - это сумма всех его сторон, поэтому Р=20×4=80дм, а полупериметр=80÷2=40дм

Р/2=40дм

Радиус вписанной окружности в ромб=(а×sinL)/2=(20×sin60°)/2=

=20×√3/2÷2=10√3÷2=5√3дм

r=5√3дм- это я так нашла по другой формуле.

Можно найти высоту ромба, через его площадь по формуле h=S÷a, где S- площадь ромба, а "а" сторона ромба, а h - высота, проведённая к ней. высота будет в 2 раза больше радиуса: h=200√3÷20=10√3дм. Так как высота больше радиуса в 2 раза, то r=10√3÷2=5√3дм

Теперь найдём площадь вписанной окружности по формуле:

S=πr²=3,14×(5√3)²=3,14×25×3=3,14×75=

=235,5дм²

ответ: Sвп.окр=235,5дм², р/2=40дм; r=5√3дм

Дано:

треугольник АМВ.

АМ = АВ = МВ.

DE = 6 см

Найти:

S от М до АВ

Так как МВ = АМ = АВ => треугольник АМВ - равносторонний.

А так как треугольник АМВ - равносторонний => этот треугольник ещё и равнобедренный.

Сумма углов треугольника равна 180°

∠А = ∠М = ∠В = 180°/3 = 60° (треугольник АМВ - равносторонний)

Так как треугольник АМВ - равнобедренный => MD - высота, медиана, биссектриса

=> ∠AMD = ∠BMD = 60˚/2 = 30˚

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> MD = 2DE

MD = 6 * 2 = 12 см

(MD - и есть расстояние от М до АВ)

ответ: 12 см.