Вариант 2 1. Диаметр сечения шара, удаленного от центра шара на √5 см, равен 4 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.
2. Хорда нижнего основания цилиндра равна a и видна из центра этого основания под углом α. Найдите боковую поверхность цилиндра, если отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, образует с плоскостью основания угол β.
3. Прямоугольный треугольник с катетом 2√3 см и прилежащим к нему углом 60о вращается вокруг второго катета. Найдите объем тела вращения.
Для начала найдем радиус шара. Радиус шара равен половине диаметра, поэтому r = 4/2 = 2 см.
Теперь подставим значение радиуса в формулу:
S = 4π * (2)² = 4π * 4 = 16π см².
Таким образом, площадь поверхности шара равна 16π см².
Чтобы найти объем шара, нам нужно использовать формулу: V = (4/3)πr³.
Подставим значение радиуса в формулу:
V = (4/3)π * (2)³ = (4/3)π * 8 = 32/3π см³.
Таким образом, объем шара равен 32/3π см³.
2. Чтобы найти боковую поверхность цилиндра, нам нужно использовать формулу: Sб = 2πrh, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
Мы знаем, что хорда нижнего основания цилиндра равна a и видна из центра этого основания под углом α. Также, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, образует с плоскостью основания угол β.
Обозначим радиус основания цилиндра как R и высоту цилиндра как H.
Так как хорда видна из центра основания под углом α, можно представить цилиндр как конус, в котором вершина конуса находится в центре основания цилиндра и расположена под углом α к плоскости основания.
Таким образом, мы можем использовать теорему косинусов для получения значения радиуса основания и высоты цилиндра.
В прямоугольном треугольнике, образованном хордой, отрезком до середины хорды и прямым углом, имеем следующие соотношения:
R² = (a/2)² + (H/2)² - 2(a/2)(H/2)cosα
H = (a/2)tanα
Также, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, образует с плоскостью основания угол β. Это значит, что треугольник, образованный этим отрезком, радиусом основания и высотой, является прямоугольным треугольником со сторонами R, H и Rcosβ.
Используя таким образом все эти соотношения, можно определить значения R и H.
После определения значений R и H, можем найти боковую поверхность цилиндра:
Sб = 2πRH
3. Чтобы найти объем тела вращения, нам нужно использовать формулу: V = πr²h, где r - радиус основания тела вращения, h - высота тела вращения.
Мы знаем, что прямоугольный треугольник с катетом 2√3 см и прилежащим к нему углом 60° вращается вокруг второго катета.
Обозначим радиус основания тела вращения как R и высоту тела вращения как H.
Радиус основания тела вращения равен катету треугольника, т.е. R = 2√3 см.
Высота тела вращения равна гипотенузе треугольника, т.е. H = 2√(3^2+1^2) = 2√10 см.
Подставим значения радиуса и высоты в формулу:
V = π * (2√3)² * (2√10) = π * 12 * 4√10 = 48π√10 см³.
Таким образом, объем тела вращения равен 48π√10 см³.