вариант 2
1. изобразите две пересекающиеся в точке о прямые аиьи
точки а, в, с, причем точка а принадлежит прямой а, в
принадлежит прямой b, точка с не принадлежит данным прямым.
2. изобразите плоскость ү, не принадлежащие ей точки k, lи
принадлежащую ей точку м. сделайте необходимые записи.
3. изобразите прямую ь, пересекающую плоскость bв точке
о. сделайте необходимую запись.
4. изобразите три пересекающиеся по прямой а плоскости а, в
иү. сделайте необходимую запись.
ω(O1; R1)
ω(O2; R2)
ω(О1;R1)∩ω(O2;R2) = N
AC, BD - общие касательные
A∈ω (O1;R1)
B∈ω(O1; R1)
C∈ω (O2;R2)
D∈ω(O2; R2)
R1 = 12
R2 = 20
AH⊥CD
---------------------
AH - ?
Решение:
Пусть O1E⊥CO2. Тогда AO1CE - прямоугольник, т.к. ∠O1AC = ∠ACO1 = ∠O1EC = 90°.
Тогда AC = O1E - как противоположные стороны прямоугольника.
O1O2 = R1 + R2.
CE = AO1 - опять же, .к. AO1EC - прямоугольник. Тогда CE = R2 - AO1 = R2 - R1.
По теореме Пифагора в ∆O1EC:
O1E = √O1O2² - EO2² = √(R1 + R2)² - (R2 - R1)² = √R1² + 2R1R2 + R2² - R2² + 2R1R2 - R1² = √4R1R2 = 2√R1R2.
∠ACH =1/2UCD - как угол между касательной и хордой.
∠O1O2C = UNC = 1/2UCD (т.к. UNC = UND) - как центральный угол.
Тогда ∠O1O2C = ∠ACD => sinACD = sinO1O2C.
sinO1O2C = O1E/O1O2 = 2√R1R2/(R1 + R2) => sinACD = 2√R1R2/(R1 + R2).
sinACD = AH/AC => AH = sinACD•AC = 2√R1R2•2√R1R2/(R1 + R2) = 4R1R2/(R1 + R2)
Подставляем значения R1 и R2:
AH = 4•12•20/(12 + 20) = 960/32= 30.
ответ: 30.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половины диагоналей за b и с. Тогда разность половин диагональ равна 1/2•46 = 23. Составим систему, используя теорему Пифагора:
37² = b² + c²
b - c = 23
1369 = (c + 23)² + c²
b = c + 23
1369 = c² + 46c + 529 + c²
b = c + 23
2c² + 46c - 840 = 0
b = c + 23
c² + 23c - 420 = 0
c1 + c2 = -23
c1•c2 = -420
c1 = -35 - не уд. условию
c2 = 12
с = 12
b = 12 + 23
c = 12
b = 35
Значит, половины диагоналей равны 12 и 35 см.
Длина меньшей диагонали равна 1/2•12 см = 24 см.
ответ: 24 см.