Вариант I.
1. Укажите верные утверждения:
1) Если KLMN – ромб, О – точка пересечения диагоналей, то угол KOL равен 90 градусов.
2) Если KLMN – ромб, то KM=LN.
3) Если KILMN – прямоугольник, то угол LKM равен углу NKM/
4) Если KLMN - прямоугольник, то KM=LN.
2. MK – средняя линия треугольника BCD (M э BC, K э BD). Найти периметр трапеции MKDC, если BC=BD=8, CD=6.
3. В треугольнике АВС из вершины В опущено высоту BD=5, которая делит сторону АС на отрезки AD=12 и DC=2. Найти:
1) Площадь треугольника АВС;
2) Сторону АВ;
3) Тангенс угла CBD;
4) Косинус угла ABD.
4. Найти большую диагональ параллелограмма, если его стороны равны 4 и 2 корня из трех, а острый угол равен 30 градусов.
5. В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и D, которые пересекаются в точке на стороне ВС. Найти периметр параллелограмма ABCD, если АВ=6.
Вариант II.
1. Укажите верные утверждения.
1) Если KLMN – ромб, то угол KNM равен углу LMN.
2) Если KLMN - ромб, то угол LNK равен углу LNM.
3) Если KLMN – прямоугольник, то KM=LN.
4) Если KLMN – прямоугольник, O – точка пересечения диагоналей, то угол MOL равен 90 градусов.
2. PH – средняя линия треугольника DBE (H э BD, P э BE). Найти периметр трапеции DHPE, если BD=BE=8, DE = 12.
3. В треугольнике АСВ из вершины С опущено высоту СD, которая делит сторону АВ на отрезки AD=4 и DB=8. Найти:
1) Площадь треугольника АВС;
2) Сторону ВС;
3) Тангенс угла ACD;
4) Синус угла DBC.
4. Найти большую диагональ параллелограмма, если его стороны равны 6 и 3 корня из двух, а острый угол равен 45 градусов.
5. В равнобедренной трапеции ABCD проведены биссектрисы углов A и D, которые пересекаются в точке на основании ВС. Найти периметр трапеции, если AB=8, AE=22.
О - точка пересечения диагоналей основания.
В1О - высота сечения АВ1С
α -угол между плоскостью сечения АВ1С и ребром В1В, который нужно найти , этот угол - есть угол между высотой сечения В1О и ребром ВВ1
Решение.
АО = ВО = а/√2
АВ1 = √(а² + с²)
Высота сечения В1О = √(АВ1² - АО²) = √(а² + с² - а²/2) = (√(а² + 2с²))/√2
Площадь сечения АВ1C S1 = АО · В1О =
= а/√2 · (√(а² + 2с²))/√2 = а/2 · √(а² + 2с²)
Площадь боковой грани S2 = а·с
По условию S1 = S2
ас = а/2 · √(а² + 2с²) → а² = 2с²
Наконец-то найдём и синус угла α
sin α = ВО/В1О = а/√2 : (√(а² + 2с²))/√2 = а / √(а² + 2с²) =
= а / √(а² + а²) = 1/√2
Отсюда следует, что α = 45°
ответ: 45°
▪одна сторона - 4х
▪ вторая сторона - 6х
▪ третья сторона - 7х
▪периметр треугольника это сумма всех его сторон, а т.к. тругольники подобные, значит стороны одного треуг. соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника, а углы соответственно равны. значит Р = а+b+с
4х + 6х + 7х = 102
17х = 102
х = 102 ÷ 17
х = 6
Подставим наше значение х:
▪одна сторона - 4 × 6 = 24 см
▪ вторая сторона - 6 × 6 = 36 см
▪третья сторона - 7 × 6 = 42 см
ответ: 24 см; 36 см; 42 см