Из ΔAMB по теореме косинусов : AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB (1) ; Из ΔAMC : AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ; но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB (2) ; суммируем (1) и (2) получаем AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ; но BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA поэтому : 4AM² =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA.
* * * Можно продолжать медиана MD =AM и M соединить с вершинами B и C. Получится параллелограмм ABDC , где верно 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².
Для медианы CN : 4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то 4CN² =4AM² или CN =AM .
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB (2) ;
суммируем (1) и (2) получаем
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA поэтому :
4AM² =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA.
* * *
Можно продолжать медиана MD =AM и M соединить с вершинами
B и C. Получится параллелограмм ABDC , где верно
2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².
Для медианы CN : 4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то 4CN² =4AM² или CN =AM .
Объяснение:
АВ=Cтак как стороны квадрата равны.
Стороны квадрата попарно параллельны, тогда АВ//CD и AD//CB.
Угол ВАС=угол DCA так как накрест-лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС.
АК=МС по условию.
Исходя из доказанных равенств: ∆АВК=∆DCM по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно КВ=MD как соответственные стороны равных треугольников.
АD=CB так как стороны квадрата равны.
Угол DAC=угол ВСА как накрест-лежащие углы при параллельных прямых AD u BC и секущей АС.
АК=МС по условию
Исходя из доказанных равенств: ∆DAK=∆ВСМ по двум сторонам и углу между ними.
Тогда KD=MB как соответственные стороны равных треугольников.
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
Следовательно: угол DCM=угол ВСМ.
DC=BC так как это стороны квадрата.
МС – общая сторона.
Тогда ∆DCM=∆BCM.
Следовательно DM=BM как соответственные стороны равных треугольников.
Получим:
DM=BK
|| => DM=BK=BM=DK.
BM=DK
Следовательно четырехугольник BMDК – ромб, так как это четырехугольник у которого все стороны равны.