Вариант1
А1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, один из катетов - 6 см. Найти радиус описанной окружности.
А)5см Б) 8см В) 6см Г) 10см
А2. Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его
А) медиан Б) высот В) биссектрис
Г) серединных перпендикуляров к его сторонам
А3. Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: r = 20 cм, d = 17 cм
А) имеют две общие точки Б) одна общая точка В) не имеют общих точек.
А4. . Градусная мера дуги АС равна 980 Найдите градусную меру вписанного угла АВС.
А) 490 Б) 1960 В) 980 Г) другой ответ
А5. Центральный угол АОС больше вписанного угла АВС на 640 . Найдите градусную меру дуги АВС.
А) 640 Б) 1280 В) 680 Г) 320
В1. АВ и АС- отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.
В2. Рисунок 1. Дано: ᵕАВ : ᵕВС = 11 : 12.
Найдите ∟ВСА, ∟ВАС.
Вариант 1. Отношение катетов равно ВС/АС = 1.
Вариант 2. Отношение равно ВС/АС = √(√5+1)/2).
Объяснение:
Уточним условие. Катет и его проекция (на гипотенузу) равными быть не могут, так как наклонная не может быть равна проекции. Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника может быть равной проекции данного нам катета. Значит есть два варианта:
Первый: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см, а высота, проведенныя из прямого угла, так же равна 7 см..
Второй: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см и является высотой этого треугольника. Проекция второго катета на гипотенузу так же равна 7см.
Тогда решение:
Вариант 1.
Проведем высоту СН к гипотенузе.
Тогда по условию СН = АН = 7 см.
Прямоугольный треугольник АНС равнобедренный, так как катеты равны (СН=АН). => ∠САВ = 45° =>
В треугольнике АВС ∠АВС = 45° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника) => треугольник равнобедренный (углы при основании равны) => катеты треугольника АВС равны и их отношение равно 1.
Вариант2.
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Высота из прямого угла СН² = АН·ВН - свойство этой высоты.
Пусть АС = 7 см. Тогда ВН = 7см, АН = х см, АВ = (7+х)см.
По Пифагору: ВС² = АВ² - АС² или ВС² = (7+х)² - 7². (1)
В прямоугольном треугольнике ВСН по Пифагору
ВС² = СН²+7². (2). СН² = 7·х (по свойству). =>
ВС² = 7·х+49. (2)
Приравняв (1) и (2), получим: (7+х)² - 7² = 7х+49. =>
49+14х+х² - 49 = 7х+49 => х²+7х-49 = 0.
х = (-7+√(49+4·49))/2 = (-7+7√5)/2 см = 7(√5-1)/2.
Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.
Итак, катет ВС = √(7х +49) =>
ВС = √(49·(√5-1)/2 +49) = 7√(√5-1)/2 +1) = 7√(√5+1)/2).
ВС/АС = √(√5+1)/2).
Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы состоит из площади двух равных оснований ( квадратов) и четырех равных боковых граней (прямоугольников).
В основаниях призмы - квадраты с диагональю=8.
Диагональ делит квадрат на равнобедренные треугольники с острыми углами 45°
Значит, стороны оснований равны диагонали, умноженной на синус или косинус 45° или по т.Пифагора.
АВ=(8•√2):2=4√2
Высоту АА1 призмы найдем из равнобедренного прямоугольного ∆ АСА1.
АА1=А1С•sin45°=8
Площадь основаий
S осн = 2•АВ•ВС=2•(4v2)•(4v2)=64
Площадь боковых граней
4•AA1•AB=4•8•4√2=64√2
Полная площадь поверхности призмы
S полн =64+64√2=64•(1+√2) (ед.площади)