Обозначим диагональ равнобокой трапеции за d (диагонали равны). Тогда площадь можно выразить через диагонали и угол между ними - S=1/2*d²*sin(a), где sin(a) - синус угла между диагоналями. Мы знаем, что 1/2*d²*sin(a)=1, d²*sin(a)=2. Значение d будет наименьшим в случае, если значение sina наибольшее. Оно наибольшее, когда a=90 градусам, то есть, когда диагонали пересекаются под прямым углом. В этом случае sin(a)=1, d²=2, d=√2. Таким образом, наименьшее значение диагонали равнобокой трапеции с площадью 1м² - √2м.
Пусть AD и BE пересекаются в точке K В треугольнике ABD BE - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, AB = BD, и BE - так же и медиана, то есть AK = KD; Пусть теперь точка F лежит на продолжении BA за точку A, так что CF II AD. Так как BD - медиана, то в треугольнике FBC AD - средняя линия, а CA - медиана треугольника FBC; само собой, BE так же медиана этого равнобедренного треугольника FBC (если её продолжить за точку E до пересечения с FC в точке G), то есть точка Е делит AC, как это обычно и бывает с медианами: AE/EC = 1/2; Более того, BE/EG = 2/1, то есть BE/BG = 2/3; а BK/KG = 1/1; то есть BK/BG = 1/2; отсюда BK/BE = 3/4; и KE/BE = 1/4; Таким образом, AK = KD = 48; KE = 24; BK = 72; AB = √(48^2 + 72^2) = 24√13; BC = 2*AB = 48√13; AE = √(48^2 + 24^2) = 24√5; AC = 3*AE = 72√5;
В треугольнике ABD BE - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, AB = BD, и BE - так же и медиана, то есть AK = KD;
Пусть теперь точка F лежит на продолжении BA за точку A, так что CF II AD. Так как BD - медиана, то в треугольнике FBC AD - средняя линия, а CA - медиана треугольника FBC; само собой, BE так же медиана этого равнобедренного треугольника FBC (если её продолжить за точку E до пересечения с FC в точке G), то есть точка Е делит AC, как это обычно и бывает с медианами: AE/EC = 1/2;
Более того, BE/EG = 2/1, то есть BE/BG = 2/3; а BK/KG = 1/1; то есть BK/BG = 1/2; отсюда BK/BE = 3/4; и KE/BE = 1/4;
Таким образом, AK = KD = 48; KE = 24; BK = 72;
AB = √(48^2 + 72^2) = 24√13; BC = 2*AB = 48√13;
AE = √(48^2 + 24^2) = 24√5; AC = 3*AE = 72√5;
665