Векторы Найдите значение n, если векторы а(n;-2;1) и b(n;2n;4) перпендикулярные
2. Дано точки А(1;0;-1) В(-1;-2;0) K(2;1;2) Найдите на оси ординат такую точку Р, чтобы векторы КР и АВ были перпендикулярные. В ответ записать только ординату.
1. Для того чтобы векторы a и b были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю.
Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Подставляем значения векторов a(n;-2;1) и b(n;2n;4) и приравниваем к нулю:
(n * n) + (-2 * 2n) + (1 * 4) = 0
n² - 4n + 4 = 0
Для решения этого квадратного уравнения, можно использовать формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
В нашем случае:
a = 1
b = -4
c = 4
D = (-4)² - 4 * 1 * 4
D = 16 - 16
D = 0
Поскольку дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет одно решение.
n = -b / 2a
n = -(-4) / 2 * 1
n = 4 / 2
n = 2
Ответ: n = 2
2. Чтобы векторы КР и АВ были перпендикулярными, их скалярное произведение также должно равняться нулю. Пусть точка Р имеет ординату y.
Вектор КР можно представить как разность координат К и Р:
КР = (2 - x; 1 - y; 2 - z)
Вектор АВ можно представить как разность координат А и В:
АВ = (-1 - 1; -2 - 0; 0 - (-1))
АВ = (-2; -2; 1)
Тогда скалярное произведение векторов КР и АВ:
КР · АВ = (2 - x)(-2) + (1 - y)(-2) + (2 - z)(1) = 0
Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Подставляем значения векторов a(n;-2;1) и b(n;2n;4) и приравниваем к нулю:
(n * n) + (-2 * 2n) + (1 * 4) = 0
n² - 4n + 4 = 0
Для решения этого квадратного уравнения, можно использовать формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
В нашем случае:
a = 1
b = -4
c = 4
D = (-4)² - 4 * 1 * 4
D = 16 - 16
D = 0
Поскольку дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет одно решение.
n = -b / 2a
n = -(-4) / 2 * 1
n = 4 / 2
n = 2
Ответ: n = 2
2. Чтобы векторы КР и АВ были перпендикулярными, их скалярное произведение также должно равняться нулю. Пусть точка Р имеет ординату y.
Вектор КР можно представить как разность координат К и Р:
КР = (2 - x; 1 - y; 2 - z)
Вектор АВ можно представить как разность координат А и В:
АВ = (-1 - 1; -2 - 0; 0 - (-1))
АВ = (-2; -2; 1)
Тогда скалярное произведение векторов КР и АВ:
КР · АВ = (2 - x)(-2) + (1 - y)(-2) + (2 - z)(1) = 0
Продолжим вычисления:
-4 + 2x - 2 - 2y + 2 - z = 0
-4 + 2x - 2y - z = 0
Таким образом, уравнение -4 + 2x - 2y - z = 0 описывает условие перпендикулярности векторов КР и АВ.
Нам нужно найти ординату y, поэтому можно считать, что координаты x и z равны 0:
-4 - 2y = 0
-2y = 4
y = 4 / -2
y = -2
Ответ: Ордината точки Р равна -2.