Вершина треугольника лежит на сфере, а его стороны равны 4см, 4 см, 8см. найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см
Это логически очень простая задача. К сожалению, в условии есть маленькая засада.
Сначала надо построить КАКОЙ-ТО ромб с заданным отношением диагоналей q. (засада именно тут*)).
ПРЕДПОЛОЖИМ (см. примечание), что есть два отрезка длины a и b, таких, что b/a = q. (или - то же самое - заданы отрезки длины 1 и q). Тогда на двух перпендикулярных линиях (их легко построить) от точки пересечения в обе стороны надо отложить отрезки a и b, и соединить.
(В координатном представлении это означает, что берутся четыре точки на осях с координатами (-a, 0), (0, b), (a, 0), (0, -b) и соединяются последовательно.
Еще это можно так сформулировать - надо постороить прямоугольный треугольник с катетами a и b - задача из учебника, четыре таких треугольника, приставленные катетами друг к другу, образуют ромб с отношением диагоналей b/a).
Получился ромб, подобный нужному.
Теперь от любой вершины надо отложить по обеим сторонам, выходящим из этой вершины, отрезки длины L, и через полученные точки провести прямые параллельно противоложным сторонам ромба до пересечения. (Даже можно не строить параллельные, а провести окружности радиусом L с центрами в этих точках, точка пересечения этих окружностей и будет четвертая вершина ромба).
Получился ромб со стороной L и нужным отношением диагоналей.
*) Примечание.
На самом деле в общем случае это нетривиальная задача - если задан отрезок длины a и какое-то число q, построить отрезок длины b = aq. К примеру, я понимаю, что когда q - рациональное число, q = m/n, где m и n - целые, то построение такого отрезка делается с теоремы Фаллеса - на двух лучах из одной точки (да хоть на тех же осях) откладываются отрезки равной длины, по одному лучу n раз, по второму m, конечные точки соединяются, по второму лучу откладывается отрезок a и проводится прямая II линии соединения. Она отсекает на втором луче отрезок длины b = am/n.
В принципе (это АБСОЛЮТНО верное утверждение :)) для любого действительного числа q можно создать предельную процедуру, то есть последовательность рациональных m/n -> q. Проблема в том, что такая процедура требует БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПОСТРОЕНИЙ. В некоторых - частных - случаях, например, если q - алгебраическое иррациональное число, построение делается с использованием какого-нибудь геометрического объекта, содержащего нужное отношение. Например, при q = √2, нужный отрезок является диагональю квадрата со стороной a. Но построить уже отрезки, отношение которых равно π - В ПРИНЦИПЕ невозможно ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ДЕЙСТВИЙ. Это - так называемая "квадратура круга".
Поэтому условие задачи следует понимать именно так - если ЗАДАНЫ какой-то отрезок длины a и какой то отрезок длины aq, надо построить ромб со стороной L и отношением диагоналей q.
Или можно еще так сформулировать - задано ТРИ отрезка a, b и L, надо построить ромб со стороной L и отношением диагоналей b/a. Это - совершенно корректная постановка (или - эквивалентно - можно задать отрезок длины 1 и длины q).
Если же кто-то хочет по заданному числу q построить два отрезка с отношением длин q, то В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ эта задача не решается В ПРИНЦИПЕ.
Если нельзя применить теоремы синусов и косинусов, то, скорее всего, можно применить теорему Пифагора.
Пусть высота треугольника АВС из точки А равна Н.
Опустим из основания биссектрисы перпендикуляр h на сторону ВС.
Из подобия треугольников имеем h/H = 4/20 = 1/5,
По Пифагору находим:
Н = √(20² - (5/2)²) = √(400 - (25/4) = √(375/4) = 15√7/2.
Теперь получаем: h = (1/5)*(15√7/2) = 3√7/2.
Длину биссектрисы L тоже определяем по Пифагору.
Проекция её на ВС равна (5/2) + (4/5)*(5/2) = 9/2.
L = √((9/2)² + h²) = √((81/4) + (63/4)) = √(144/4 = √36 = 6.
ответ: длина биссектрисы равна 6.
Это логически очень простая задача. К сожалению, в условии есть маленькая засада.
Сначала надо построить КАКОЙ-ТО ромб с заданным отношением диагоналей q. (засада именно тут*)).
ПРЕДПОЛОЖИМ (см. примечание), что есть два отрезка длины a и b, таких, что b/a = q. (или - то же самое - заданы отрезки длины 1 и q). Тогда на двух перпендикулярных линиях (их легко построить) от точки пересечения в обе стороны надо отложить отрезки a и b, и соединить.
(В координатном представлении это означает, что берутся четыре точки на осях с координатами (-a, 0), (0, b), (a, 0), (0, -b) и соединяются последовательно.
Еще это можно так сформулировать - надо постороить прямоугольный треугольник с катетами a и b - задача из учебника, четыре таких треугольника, приставленные катетами друг к другу, образуют ромб с отношением диагоналей b/a).
Получился ромб, подобный нужному.
Теперь от любой вершины надо отложить по обеим сторонам, выходящим из этой вершины, отрезки длины L, и через полученные точки провести прямые параллельно противоложным сторонам ромба до пересечения. (Даже можно не строить параллельные, а провести окружности радиусом L с центрами в этих точках, точка пересечения этих окружностей и будет четвертая вершина ромба).
Получился ромб со стороной L и нужным отношением диагоналей.
*) Примечание.
На самом деле в общем случае это нетривиальная задача - если задан отрезок длины a и какое-то число q, построить отрезок длины b = aq. К примеру, я понимаю, что когда q - рациональное число, q = m/n, где m и n - целые, то построение такого отрезка делается с теоремы Фаллеса - на двух лучах из одной точки (да хоть на тех же осях) откладываются отрезки равной длины, по одному лучу n раз, по второму m, конечные точки соединяются, по второму лучу откладывается отрезок a и проводится прямая II линии соединения. Она отсекает на втором луче отрезок длины b = am/n.
В принципе (это АБСОЛЮТНО верное утверждение :)) для любого действительного числа q можно создать предельную процедуру, то есть последовательность рациональных m/n -> q. Проблема в том, что такая процедура требует БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПОСТРОЕНИЙ. В некоторых - частных - случаях, например, если q - алгебраическое иррациональное число, построение делается с использованием какого-нибудь геометрического объекта, содержащего нужное отношение. Например, при q = √2, нужный отрезок является диагональю квадрата со стороной a. Но построить уже отрезки, отношение которых равно π - В ПРИНЦИПЕ невозможно ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ДЕЙСТВИЙ. Это - так называемая "квадратура круга".
Поэтому условие задачи следует понимать именно так - если ЗАДАНЫ какой-то отрезок длины a и какой то отрезок длины aq, надо построить ромб со стороной L и отношением диагоналей q.
Или можно еще так сформулировать - задано ТРИ отрезка a, b и L, надо построить ромб со стороной L и отношением диагоналей b/a. Это - совершенно корректная постановка (или - эквивалентно - можно задать отрезок длины 1 и длины q).
Если же кто-то хочет по заданному числу q построить два отрезка с отношением длин q, то В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ эта задача не решается В ПРИНЦИПЕ.