Вершини рівностороннього трикутника зі стороною 8√3 см лежать на поверхні кулі. Знайдіть площу поверхні кулі, якщо відстань від центра кулі до площини трикутника дорівнює 6 см. У відповідь запищіть S/П.

АВС - основание пирамиды

S - вершина

О - середина основания

SO - высота = 9√3

АВ=ВС=АС= 9√3

SA - ?

Найдём длину АО:

АО = 1/2 * АP

где АР - высота треугольника АВС

Найдем площадь треугольника:

S = a²√3/4 = (9√3)²*√3/4 = 243√3 /4 см²

Также площадь треугольника находится через высоту:

S = 1/2 * a * h

Найдём отсюда высоту:

243√3 /4 = 1/2 * 9√3 * h

1/2 * h = 81/4

h = 81/2 см

AO = 1/2 * 81/2 = 81/4 см

По теореме Пифагора:

SA² = AO²+SO²

SA² = (81/4)² + (9√3)²

SA² = 6561/16 + 243

SA² = 10449/16

SA = √10449/4

ответ: √10449/4 см

Построим сечение плоскостью через точки PMB

X - пересечение BP и AC

K - пересечение XM и DC

KMB - сечение

PT||BM, QT - искомый отрезок

В плоскости ABC:

проведем NY||BX

CY/YX =CN/NB =1

AY/YX =AN/NP =6/1

CY=YX=x, AY=6x, AC=5x => AC/CX =5/2

проведем NZ||AX

XZ/ZB =CN/NB =1

XZ/ZP =AN/NP =6/1

XZ=ZB=6x, ZP=x, PB=5x => XP/PB =7/5

В плоскости ADC:

AC/CX *XK/KM *MD/DA =1 (т Менелая) => 5/2 *XK/KM *1/2 =1 => XK/KM =4/5

В плоскости сечения KMB:

XT/TM =XP/PB =7/5 => TM/XM =5/12

XK/KM =4/5 => KM/XM =5/9

TM/KM =5/12 *9/5 =3/4 => KT/TM =1/4

QT/BM =KT/KM =1/4 => QT =1/4 a