Задача: Вне плоскости прямоугольника ABCD взяты точки M, причем MA⊥AB и MA⊥AD. Найти градусную меру угла между прямой MC и плоскостью ABC, если AB = 1 см, AD = √2 см, AM = 1 см.
ΔAMC — прямоугольный, ∠MAC = 90°, т.к. MA⊥AB и MA⊥AD ⇒ MA⊥ABCD и MA⊥ABC.
AC — диагональ ABCD и проекция MC на плоскость ABC.
∠ACM — угол между прямой MC и плоскостью ABC.
AD = BC = √2 см; AB = CD = 1 см, т.к. ABCD — прямоугольник.
Найдем AC за т. Пифагора:
Найдем MC за т. Пифагора:
Если катета меньше за гипотенузу в два раза, он лежит напротив угла в 30°. Катет AM = MC ⇒ ∠ACM = 30°.
35113996
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Без лишних слов ( эмоции )
R₁ =3√3* √3 /3 = 3 * * * R =(a√3/2)*2/3 =(a√3)/3 * * *
R₂ =4√3* √3 /3 = 4
R₁² = x (2R - x) ⇔x² - 2Rx + 9 = 0 ⇒ x₁ =R -√(R²- 9)
Маленький кусок диаметра x₁ =12 (между основания со стороной 3√3 и поверхностью шара) ( большой кусок x₂=R+ -√(R²- 9) )
Аналогично
R₂² = y (2R -y) ⇔ y² - 2Ry + 16=0 ⇒ y ₁ = R -√(R²- 16 )
x₁+ H + y₁ = 2R ⇔ R -√(R²- 9) + 7 + R -√(R²- 16) = 2R ⇔
R -√(R²- 9) + 7 + R -√(R²- 16) =2R ;
√(R²- 9) + √(R²- 16) =7 * * * ясно R =5 * * *
для сомневающихся (неужели нет другое решение ?)
примитивное иррациональное уравнение
необязательная замена t =R² > 0
√(t- 16) = 7 -√(t - 9) ⇔ t- 16 =49 -14√(t - 9) + t -9⇔ 14√(t - 9) =56 ⇔
t - 9 = 4² ⇔ t =25
R² =25 ⇒ R = 5 ( R = -5 построенное решение )
ответ : 5 см .
Изменение
добавил неповторимый пейзаж
Задача: Вне плоскости прямоугольника ABCD взяты точки M, причем MA⊥AB и MA⊥AD. Найти градусную меру угла между прямой MC и плоскостью ABC, если AB = 1 см, AD = √2 см, AM = 1 см.
ΔAMC — прямоугольный, ∠MAC = 90°, т.к. MA⊥AB и MA⊥AD ⇒ MA⊥ABCD и MA⊥ABC.
AC — диагональ ABCD и проекция MC на плоскость ABC.
∠ACM — угол между прямой MC и плоскостью ABC.
AD = BC = √2 см; AB = CD = 1 см, т.к. ABCD — прямоугольник.
Найдем AC за т. Пифагора:
Найдем MC за т. Пифагора:
Если катета меньше за гипотенузу в два раза, он лежит напротив угла в 30°. Катет AM =
MC ⇒ ∠ACM = 30°.
ответ: Градусную меру угла равна 30°.