1. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P, а ребро CD в точке O (картинка 1).
Если прямая MN параллельна AD (рис. 1), то она параллельна и плоскости АА₁D₁. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллельную АА₁D₁, значит линия пересечения с этой гранью параллельна MN. Достаточно в грани АА₁D₁D провести прямую КТ, параллельную прямой AD, тогда КТ параллельна и MN.
КОРТ – искомое сечение.
Если прямая MN не параллельна AD (рис. 2 и 3)
KO - отрезок сечения. MN∩AD = R R и К лежат в плоскости одной грани. Проводим прямую КR. KR пересекает прямую АA₁ в точке T.
Если эта точка лежит на ребре АА₁ (рис. 2), то KOPT - искомое сечение.
Если же нет, то прямая KR пересечет ребро A₁D₁ в точке Е, а прямая ТР ребро А₁В₁ в точке F. KOPFE – искомое сечение.
2. Прямая MN пересекает ребро AD в точке P и ребро CD в точке O (картинка 2). Точки К, Р и О попарно лежат в одних и тех же гранях. Просто соединяем их. КРО - искомое сечение.
3. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P и ребро BC в точке O (картинка 3). PO∩CD = L, PO∩AD = H Точки К и Н лежат в плоскости передней грани. Прямая НК пересекает ребро АА₁ в точке Т Точки К и L лежат в плоскости боковой грани. Прямая KL пересекает ребро СС₁ в точке R. KROPT - искомое сечение.
4. Прямая MN пересекает ребро AD в точке O и ребро АВ в точке Р (картинка 4). OP∩СD = Е, OP∩ВС = F. Точки E и К лежат в плоскости грани AA₁D₁D. Прямая EК пересекает ребро C₁D₁ в точке R и прямую CC₁ в точке Н. Точки Н и F лежат в плоскости задней грани. Прямая HF пересекает прямую В₁С₁ в точке Т.
Если точка Т лежит на ребре В₁С₁, то прямая HF пересечет и ребро ВВ₁ в точке L (рис. 1)
и тогда KOPLTR - искомое сечение.
Если точка Т не лежит на ребре В₁С₁ (рис. 2), то надо провести прямую TR в верхней грани, которая пересечет ребро А₁В₁ в точке L.
Так как r=S/p, где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - его полупериметр (p=(a+b+c)/2, где a,b,c - стороны треугольника), для нахождения радиуса нужно найти периметр и площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, в нашем случае S=9*12/2=54. Чтобы найти периметр треугольника, нужно найти его гипотенузу - по теореме Пифагора она равна √9²+12²=√81+144=√225=15. Тогда периметр равен 9+12+15=36, а полупериметр равен 18.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 54/18=3.
Рассмотрим 4 случая:
1. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P, а ребро CD в точке O (картинка 1).
Если прямая MN параллельна AD (рис. 1), то она параллельна и плоскости АА₁D₁. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллельную АА₁D₁, значит линия пересечения с этой гранью параллельна MN. Достаточно в грани АА₁D₁D провести прямую КТ, параллельную прямой AD, тогда КТ параллельна и MN.
КОРТ – искомое сечение.
Если прямая MN не параллельна AD (рис. 2 и 3)
KO - отрезок сечения.
MN∩AD = R
R и К лежат в плоскости одной грани. Проводим прямую КR.
KR пересекает прямую АA₁ в точке T.
Если эта точка лежит на ребре АА₁ (рис. 2), то KOPT - искомое сечение.
Если же нет, то прямая KR пересечет ребро A₁D₁ в точке Е, а прямая ТР ребро А₁В₁ в точке F. KOPFE – искомое сечение.
2. Прямая MN пересекает ребро AD в точке P и ребро CD в точке O (картинка 2).
Точки К, Р и О попарно лежат в одних и тех же гранях. Просто соединяем их.
КРО - искомое сечение.
3. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P и ребро BC в точке O (картинка 3).
PO∩CD = L,
PO∩AD = H
Точки К и Н лежат в плоскости передней грани. Прямая НК пересекает ребро АА₁ в точке Т
Точки К и L лежат в плоскости боковой грани. Прямая KL пересекает ребро СС₁ в точке R.
KROPT - искомое сечение.
4. Прямая MN пересекает ребро AD в точке O и ребро АВ в точке Р (картинка 4).
OP∩СD = Е,
OP∩ВС = F.
Точки E и К лежат в плоскости грани AA₁D₁D. Прямая EК пересекает ребро C₁D₁ в точке R и прямую CC₁ в точке Н.
Точки Н и F лежат в плоскости задней грани. Прямая HF пересекает прямую В₁С₁ в точке Т.
Если точка Т лежит на ребре В₁С₁, то прямая HF пересечет и ребро ВВ₁ в точке L (рис. 1)
и тогда KOPLTR - искомое сечение.
Если точка Т не лежит на ребре В₁С₁ (рис. 2), то надо провести прямую TR в верхней грани, которая пересечет ребро А₁В₁ в точке L.
KOPLR- искомое сечение в этом случае.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, в нашем случае S=9*12/2=54. Чтобы найти периметр треугольника, нужно найти его гипотенузу - по теореме Пифагора она равна √9²+12²=√81+144=√225=15. Тогда периметр равен 9+12+15=36, а полупериметр равен 18.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 54/18=3.