Висота прямого паралелепіпеда дорівнює √3, діагоналі його утворюють з основою кути 45° і 60°, а основою є ромб, знайдіть площу бічної та повної поверхні паралелепіпеда.

Задача: Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найти градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 34°.

Решение: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠C = ∠AOB/2 = 34/2 = 17°

ответ: ∠C =  17°.

········································································

Задача: AB и AC – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 8 см. Найти длину OA и AC, если AB = 6 см.

Если к окружности из одной точки (A) проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC = 6 см

ΔAOC — прямоугольный, ∠С = 90, т.к. ОС — радиус окружности, а AC — касательная (OC⊥AC по определению)

Величину гипотенузы определим по т. Пифагора:

ответ: OA = 10 см, AC = 6 см.

········································································

Задача: На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 26°. Найти ∠NMB.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (т.к. дуга опирается на соответственный центральный угол):

∠NBA = ∪AN/2  ⇒  ∪AN = 2·∠NBA = 2·26 = 52°

∪BN = 180°−∪AN = 180°−52° = 128°

∠NMB = ∪BN/2 = 128°/2 = 64°

ответ: ∠NMB = 64°.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью    основания угол 45°. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды  с  серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите: а) боковое ребро пирамиды ;                                                                                     б) боковую поверхность пирамиды.                                                                          - - - - - - -      

Дано :

Правильная пирамида PABC  ( P -вершина пирамиды ) ;                                               PO ⊥  (ABC)   ( О - центр  ΔABC ) ;

PM= BM ,  PN = ON  , MN = 3 см ;

∠PAO =∠PBO=∠PCO =45° .                                                                                  PAO =∠PBO=∠PCO                                                                                                   - - - - - - -                                                                                                                           а) PA =PB=PC  - ?                                                                                                                        б) S бок - ?  

ответ : а) 6√2 см  ,  б)   27√15 (см³ )

Объяснение:   * * * Пирамида правильная , значит ее основание правильный многоугольник (в данном случае равносторонний треугольник)  и ее высота проходит через центр основания. * * *

Для удобства обозначаем AB =BC = CA = a . Продолжаем BO , получаем  точку  H ∈ [AC]  и  эту точку соединяем с вершиной  пирамиды P ,   PH _ апофема .

ВО = (2/3)*BH =(2/3)*(a√3)/2 = a√3 / 3                  || = a / √3   ||                                                             || ВО = R  ( радиус окружности описанной около равностороннего треугольника ABC ) ||    

С другой стороны  ВО = 2*MN =2*3 см = 6 см  (в  ΔPOB   MN средняя линия →  MN =BO/2 ,   MN || BO ) .  Прямоугольный ΔPOB  еще и равнобедренный , т.к. по условию задачи  ∠PBO= 45° .  

PO = ВО ;   PB =ВО√2 = 6√2 см        ||  PB = √(PO² + ВО²)  ||                            - - -

б) S бок - ?

S бок =3*S(ΔABC)  =3*(a*PH /2) = 3a*PH /2   ||  3a -периметр основания  ||

Апофема  PH  определим из  ΔPOH по теореме Пифагора :

PH =√ (PO²+ОH²) =√ ( ВО² + (ВО/2)² ) = (ВО√5)/2 =(6√5)/2 см =3√5 см.

S бок =3*6√3) *3√5 /2  = 27√15 (см³ )

* * * OH - радиус вписанной в треугольник окружности  * * *

* * *  PH еще можно определить из определенного ΔPAH    * * *

рисунок :  см приложение