1) Бічна грань - прямокутник. ЇЇ розміри -dsin α*dcos α = d²sin2α/2. Площа бічної поверхні призми складає з 3 граней, тоді Sбок = (d²sin2α/2)*3 = 3d²sin2α/2. 2) Якщо кожне ребро дорівнює √2 см, то бічні грані - рівносторонні трикутники. Апофема дорівнює √2*cos 30 = √2*√3/2. Площа бічної поверхні становить 4*(1/2)*√2*√2*√3/2. = 2√3, Площа основи - (√2)² = 2. Тоді повна поверхня дорівнює 2√3 + 2 = 2(√3 + 1). 3) Якщо в основі піраміди прямокутний трикутник, а бічні ребра однакові, то вісь піраміди проходить через середину гіпотенузи основи. Ця вісь становить одночасно апофемою бічної грані. Тобто ця бічна грань вертикальна та її висота одночасно становить висотою піраміди. Висота піраміди дорівнює 12*cos 30 = 12*(√3/2) = 6√3.
Во первых, ошибка в условии. Треугольник АВС равнобедренный с тупым углом В, значит АВ=ВС=ВВ1. Угол между прямыми В1С и АВ - это угол между скрещивающимися прямыми, так как АВ и В1С - прямые, не лежащие в одной плоскости. Определение: Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Определение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проводим через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Опустим на эту прямую перпендикуляр ВН. Тогда искомый угол - угол ВСН, косинус которого равен Cosα=CH/B1C. B1C - это гипотенуза прямоугольного треугольника ВВ1С, катеты которого равны (ВВ1=ВС дано). Тогда В1с=а√2, а НС - это катет прямоугольного треугольника ВНС, лежащего против угла <HBC=30° (так как <HBC=<ABC-<ABH или <HBC=120°-90°=30°). НС=(1/2)*ВС=а/2. Тогда Cosα=(а/2)/(а√2)=1/2√2=√2/4. ответ: Угол равен arccos(√2/4).
Второй вариант: Решим задачу координатным Пусть а=1, а начало координат - в точке А. Найдем координаты точек А,В,С и В1. Из прямоугольного треугольника АВР c <A=30° имеем АР=Yb=√3/2. Из прямоугольного треугольника АКВ c <В=30° имеем АК=Xb=1/2. Треугольник АВС равнобедренный, значит АС=2*АР=√3. Тогда: Точки: А(0;0;0); B(1/2;√3/2;0),C(0;√3;0) и B1(1/2;√3/2;1). Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала, значит Вектора: АВ{1/2;√3/2;0}, B1C{-1/2;-√3/2;-1}. Модули векторов: |AB|=√[(1/2)²+(√3/2)²+0]=1 (что соответствует условию задачи, так как мы приняли а=1). |B1C|=√[(1/2)²+(√3/2)²+1²]=√2. (что также соответствует условию, ведь В1С - диагональ грани ВВ1С1С - квадрата со стороной равной а=1). Угол α между векторами a и b: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]. В нашем случае: Угол α между вектором АВ и СВ1: cosα=(3/4-1/4+0)/[√(3/4+1/4+0)*√(3/4+1/4+1)]=(1/2)/√2= =1/(2√2)=√2/4. ответ: угол между векторами АВ и СВ1 равен arccos(√2/4). Или ≈69,5°.
ЇЇ розміри -dsin α*dcos α = d²sin2α/2.
Площа бічної поверхні призми складає з 3 граней, тоді Sбок = (d²sin2α/2)*3 = 3d²sin2α/2.
2) Якщо кожне ребро дорівнює √2 см, то бічні грані - рівносторонні трикутники. Апофема дорівнює √2*cos 30 = √2*√3/2.
Площа бічної поверхні становить 4*(1/2)*√2*√2*√3/2. = 2√3,
Площа основи - (√2)² = 2.
Тоді повна поверхня дорівнює 2√3 + 2 = 2(√3 + 1).
3) Якщо в основі піраміди прямокутний трикутник, а бічні ребра однакові, то вісь піраміди проходить через середину гіпотенузи основи. Ця вісь становить одночасно апофемою бічної грані.
Тобто ця бічна грань вертикальна та її висота одночасно становить висотою піраміди.
Висота піраміди дорівнює 12*cos 30 = 12*(√3/2) = 6√3.
Угол между прямыми В1С и АВ - это угол между скрещивающимися прямыми, так как АВ и В1С - прямые, не лежащие в одной плоскости.
Определение: Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Определение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проводим через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Опустим на эту прямую перпендикуляр ВН. Тогда искомый угол - угол ВСН, косинус которого равен Cosα=CH/B1C. B1C - это гипотенуза прямоугольного треугольника ВВ1С, катеты которого равны (ВВ1=ВС дано). Тогда В1с=а√2, а НС - это катет прямоугольного треугольника ВНС, лежащего против угла <HBC=30° (так как <HBC=<ABC-<ABH или <HBC=120°-90°=30°). НС=(1/2)*ВС=а/2.
Тогда Cosα=(а/2)/(а√2)=1/2√2=√2/4.
ответ: Угол равен arccos(√2/4).
Второй вариант:
Решим задачу координатным
Пусть а=1, а начало координат - в точке А.
Найдем координаты точек А,В,С и В1.
Из прямоугольного треугольника АВР c <A=30° имеем АР=Yb=√3/2. Из прямоугольного треугольника АКВ c
<В=30° имеем АК=Xb=1/2.
Треугольник АВС равнобедренный, значит АС=2*АР=√3. Тогда:
Точки: А(0;0;0); B(1/2;√3/2;0),C(0;√3;0) и B1(1/2;√3/2;1).
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала, значит
Вектора: АВ{1/2;√3/2;0}, B1C{-1/2;-√3/2;-1}.
Модули векторов: |AB|=√[(1/2)²+(√3/2)²+0]=1 (что соответствует условию задачи, так как мы приняли а=1). |B1C|=√[(1/2)²+(√3/2)²+1²]=√2. (что также соответствует условию, ведь В1С - диагональ грани ВВ1С1С - квадрата со стороной равной а=1).
Угол α между векторами a и b:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)].
В нашем случае:
Угол α между вектором АВ и СВ1:
cosα=(3/4-1/4+0)/[√(3/4+1/4+0)*√(3/4+1/4+1)]=(1/2)/√2=
=1/(2√2)=√2/4.
ответ: угол между векторами АВ и СВ1 равен
arccos(√2/4). Или ≈69,5°.