Внешние углы двух правильных многоугольников отличаються - вопрос №308602346 от TheATN 17.12.2021 03:24

Question

Геометрия: Внешние углы двух правильных многоугольников отличаються на 30 градусов, а сумы их внутренних углов отличаються на 360 градусов. найти количество сторон каждого многоугольника.

TheATN · Answer

Сумма внутренних углов многоугольника S = 180°(n - 2)
По условию
S₂ - S₁ = 180°(n₂ - 2) -180°(n₁ - 2) = 360°
180°n₂ - 180°n₁ =360° ⇒ n₂ - n₁ = 2 ⇒ n₂ = n₁ + 2

Внешний угол правильного многоугольника α = 360°/n
По условию α₁ - α₂ = 30°

$\frac{360}{n_1} - \frac{360}{n_2} =30 \\ \\ \frac{12}{n_1} - \frac{12}{n_2} =1$
12n₂ - 12n₁ = n₁*n₂
12(n₁+2) - 12n₁ - n₁(n₁ + 2) = 0
12n₁ + 24 - 12n₁ - n₁² - 2n₁ = 0
24 - n₁² - 2n₁ = 0
n₁² + 2n₁ - 24 = 0
D = 4 + 4*24 = 100 = 10²
n₁ = (-2 + 10)/2 = 4
n₂ = n₁ + 2 = 6

ответ: 4 стороны и 6 сторон