Треугольник BC1A1 - равносторонний, все его углы равны 60°;
Более того, фигура BC1A1D - правильный тетраэдр. Это позволяет легко (это еще мягко сказано, скорее ЧЕНЬ легко) доказать многие, на первый взгляд, сложные соотношения в тетраэдре. Например, если в правильном тетраэдре соединить середины скрещивающихся сторон, то все три таких отрезка взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке - середине этих отрезков :))). В построенной "конструкции" речь идет об отрезках, соединяющих центры противоположных граней куба. Ясно, что они все взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре куба. И это - все решение :)
1. Найти косинус наименьшего угла треугольника. Это угол С.
Напротив наименьшей стороны лежит наименьший угол. Значит, напротив угла С лежит сторона АВ=4.
Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника АВС:
АВ²= ВС²+АС²–2×ВС×АС×cos∠C;
4²= 5²+7²–2×5×7×cos∠C;
16= 25+49–70cos∠C;
70cos∠C= 25+49–16;
70cos∠C= 58;
cos∠C= 58/70, это приблизительно, если округлить до тысячных равно 0,829.
Записываем в ответ:
cos∠C= 0,829.
2. Если воспользоваться калькулятором и посчитать значение угла С, а потом округлить его до целых, то выйдет ∠С=34°.
Более того, фигура BC1A1D - правильный тетраэдр. Это позволяет легко (это еще мягко сказано, скорее ЧЕНЬ легко) доказать многие, на первый взгляд, сложные соотношения в тетраэдре. Например, если в правильном тетраэдре соединить середины скрещивающихся сторон, то все три таких отрезка взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке - середине этих отрезков :))). В построенной "конструкции" речь идет об отрезках, соединяющих центры противоположных граней куба. Ясно, что они все взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре куба. И это - все решение :)
Решение.
1. Найти косинус наименьшего угла треугольника. Это угол С.
Напротив наименьшей стороны лежит наименьший угол. Значит, напротив угла С лежит сторона АВ=4.
Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника АВС:
АВ²= ВС²+АС²–2×ВС×АС×cos∠C;
4²= 5²+7²–2×5×7×cos∠C;
16= 25+49–70cos∠C;
70cos∠C= 25+49–16;
70cos∠C= 58;
cos∠C= 58/70, это приблизительно, если округлить до тысячных равно 0,829.
Записываем в ответ:
cos∠C= 0,829.
2. Если воспользоваться калькулятором и посчитать значение угла С, а потом округлить его до целых, то выйдет ∠С=34°.