Во Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?
2) Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
3) Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
4) Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5) Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
6) Расскажите о практических проведения параллельных прямых.
7) Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.
8) Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.
9) Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
10) Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
11) Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
12) Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.
13) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
14) Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
15) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей:
а) соответственные углы равны;
б) сумма односторонних углов равна 180°.
16) Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно
параллельными сторонами.
17) Сформулируйтеи докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.
ответы:
1. Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то есть не пересекаются.
Параллельные отрезки - это отрезки, которые лежат на параллельных прямых.
2. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b , если она пересекает их в двух точках.
3. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
4. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
6. На практике параллельные прямые проводятся с чертёжного угольника и линейки.
7. Аксиомой называется основополагающее утверждение, которое принимается без доказательств. Пример аксиомы: через любые две точки проводится прямая, и притом только одна.
8. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Высказывание и является доказательством, так как это аксиома.
9.Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
10. Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями.
11. Пусть прямые a и b параллельны прямой . Докажем, что a||b. Допустим, что прямые a и b не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке M. Тогда через точку M проходят две прямые (a и b), параллельные прямой c. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые a и b параллельны.
12. Теоремой обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
13. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
14. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
15. —
16. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
17. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме дают 180°.
ОбъяІншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціальним знаком: *. Запис F * F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».
З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — подібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).
Властивості подібних фігур
1) Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).
2) Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .
3) Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібності k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k1· k2.
4) Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Доведемо цю властивість для многокутників.
Нехай F і F' — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S' — їхні площі (рис. 175).
З'ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб'ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, ..., Δп, сума площ яких дорівнює S.
Перетворення подібності, яке переводить F у F', переводить ці трикутники у трикутники , , ..., , сума площ яких дорівнює S'.
Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і висоти трикутників Δ1, Δ2, ..., Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, ..., ап і hп, то основи і висоти трикутників , , ..., дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, ..., kan і khn. Тоді
S' = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + ... + kan · khn = k2= k2S.
Оскільки S' = k2S,.
Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів.
Розв'язування вправ
1. Наведіть приклади подібних фігур.
2. Чи подібні будь-які рівні фігури?
3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?
4. Про дві фігури відомо, що F2 * F1 і F1 * F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?
5. Згадайте означення подібних трикутників.
6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.
IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Розв'язування задач
1. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2)
2. Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь. (см))
3. Площа меншого многокутника дорівнює 45 см2. Чому дорівнює площа більшого многокутника, подібного даному, якщо відповідні сторони многокутників дорівнюють 10 см і 15 см? (Відповідь. 101,25 см2)
4. Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. )
5. Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.
Розв'язання
Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.
Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).
Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.
6. Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.
Розв'язання
Нехай у трикутнику ABC (рис. 176) BDAC, FKBD, SΔFВК * SΔFKC, BD = h.
ΔFBK * ΔАВС (за двома кутами), тоді . Враховуючи, що SΔABC = 2SΔFBK BD = h, маємо = , звідси BS2 = BS, або BS = = .
Відповідь. .
7. На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).
Розв'язання
Нехай S — площа трикутника CEF. ΔADF * ΔBED (оскільки кожний із них подібний трикутнику ABC.
Отже, , звідси .
Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.
Тоді , звідси S = S1 = .
Відповідь. .
V. Домашнє завдання
1. Вивчити теоретичний матеріал.
2. Розв'язати задачі.
1) Через середину висоти трикутника перпендикулярно до неї проведено пряму. У якому відношенні вона ділить площу трикутника?
2) Периметри правильних л-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі?
VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу
1. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.
2. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : 4)
3. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. 14,4 см2)
Попередня
Зміст
Наступна
Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити
снение:
Являются доказанными такие свойства равнобедренного треугольника:
- равенство углов при основании,
- совпадение проведенных из вершины биссектрисы, медианы и высоты с осью симметрии треугольника,
- равенство между собой двух других биссектрис (медиан, высот),
- пересечение биссектрис (медиан, высот), проведенных из углов при основании, в точке, лежащей на оси симметрии.
Наличие одного из этих признаков является доказательством того, что треугольник равнобедренный.