вопросы по 8 кл ( первое полугодие)
1 многоугольник. определение, виды, сумма внешних и внутренних углов
выпуклого многоугольника. одна из теорем с доказательством.
2 параллелограмм. свойства параллелограмма. одно из свойств с
доказательством.
3 параллелограмм. признаки параллелограмма. один из признаков с
доказательством.
4 трапеция. определение, виды, свойства. одно из свойств с доказательством.
5 теорема фалеса с доказательством.
6 прямоугольник. свойства и признаки прямоугольника. одно из свойств с
доказательством.
7 ромб. свойства и признаки ромба. одно из свойств с доказательством.
8 квадрат. свойства и признаки квадрата. одно из свойств с доказательством.
9 площадь прямоугольника и квадрата. доказательство теоремы о площади
прямоугольника.
10 площадь параллелограмма и ромба. доказательство теоремы о площади
параллелограмма.
11 площадь треугольника. доказательство теоремы о площади треугольника.
12 теорема об отношении площадей, имеющих по равному углу с
доказательством.
13 площадь трапеции. доказательство теоремы о площади трапеции.
14 теорема пифагора с доказательством.
15 теорема, обратная теореме пифагора с доказательством.

, ! сдавать билеты , по ним и буду делать шпоры
заранее

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании.

——————————————————

Основание  правильной четырехугольной пирамиды – квадрат. 

Все боковые грани  правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а высота проходит через центр основания, который является центром вписанной и описанной около основания окружностей.

 Двугранный угол здесь образован радиусом вписанной окружности и апофемой, как отрезками. перпендикулярными ребру основания в одной точке (по т. о трех перпендикулярах).

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. 

r=24:2=12 (см)

Соединив основание апофемы с центром  основания ( основанием высоты пирамиды), получим прямоугольный треугольник. 

При этом катеты- высота пирамиды и половина стороны основания - равны 12 см.

Следовательно, треугольник - равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45º.⇒ Искомый угол равен 45º.

тупой угол "входит" в равнобедренный треугольник, образованный диагональю (как основанием), меньшим основанием и боковой стороной. Раз в этом треугольнике угол при основании 30 градусов (ИМЕННО ТАК ЗАДАНО В УСЛОВИИ:)), то угол при вершине 180 - 2*30 = 120 градусов. Это все.

вскользь замечу, что в этой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, и является биссектрисой угла при большом основании (который  - 60 градусов).

Опять обсуждение стерлось! придется сюда написать. Обычно, когда пишут "Диагональ составляет  с основанием угол, равный 30 градусов", неявно считают, что речь идет о большем ("нижнем") основании. Приходится "доказывать", что угол с верхним - такой же :