Восновании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30. найдите: диагональ основания призмы; диагональ призмы; высоту призмы; площадь боковой поверхности призмы; площадь полной поверхности призмы; объём призмы

№1
h =  a ⇒
a = h 

Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону

r = a = h 

№2
Высоты, медианы, биссектрисы правильного треугольника:

h = m = l = a ⇒

a = h = m = l

Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону

r = a = h =  m =  l

a) высота равна:
1) 30 см ; r =  h = 10 см

2) 4,2 м ; r =  h = 1,4 (м)

3) 5 см ; r =  h = 1  (см)

4) 3,6 см ; r =  h = 1,2 (см)

5) 11,1 см ; r =  h = 3,7 (см)

б) медиана равна:

1) 21 см; r =  m = 7 (см)  

2) 0,9 мм; r =  m = 0,3 (мм)   

3) 7 дм; r =  m = 2 (дм)     

4) 5,4 см; r =  m = 1,8 (см)     

5) 37,2 см; r =  m = 12,4 (см)     

в) биссектриса равна:

1) 54 мм ; r =  l = 18 (мм)   

2) 8 м; r =  l = 2 (м)      

3) 72 см;  r =  l = 24 (см)

4) 9,6 см;  r =  l = 3,2 (см)

Даны точки А(7; 6), B(8; 9) и C(3; 7).

Для уравнения окружности нужны координаты её центра и радиус.

Найдём уравнения двух срединных перпендикуляров и точка их пересечения и есть центр описанной окружности.

Вектор АВ = (1; 3), уравнение АВ: (x - 7)/1 = (y - 6)/3 или в общем виде

3x - y - 15 = 0.

Вектор ВC = (-5; -2), уравнение BC: (x - 8)/(-5) = (y - 9)/(-2) или в общем виде 2x - 5y + 29 = 0.

Находим координаты середин сторон АВ и ВС.

С1 = (А+В)/2 = (7,5; 7,5), А1 = (В+С)/2 = (5,5; 8)

Уравнения перпендикуляров через точки (координаты Аи В меняем на -В и А):

С1: x + 3y + C = 0,  подставим координаты точки С1:

1*7,5 + 3*7,5 + С = 0, отсюда С = -30, уравнение x + 3y - 30 = 0

A1: 5x + 2y + C = 0, подставим координаты точки А1:

5*5,5 + 2*8 + С = 0, отсюда С = -43,5.

Уравнение 5x + 2y - 43,5 = 0 или с целыми коэффициентами

10x + 4y - 87 = 0.

Находим центр окружности, решая систему:

{x + 3y - 30 = 0,

{10x + 4y - 87 = 0.

Получаем х(О) = 141/26 ≈ 5,42308, у(О) = 639/78 ≈ 8,19231.

Радиус равен 2,700536874  (находим по двум точкам А и О).

ответ: уравнение описанной окружности

(x - (141/26))² + (y - (639/78))² = 2,700536874².