Востроугольном треугольнике авс со сторонами ав=18, вс=12, ас=15 проведены высоты аа1, вв1, сс1, которые пересекаются в точке н. найдите отношение а1f : fb1, если точка f является точкой пересечения аа1 и сс1. решение и
рисунок.

Я не знаю, насколько вы знакомы со свойствами ортотреугольника, поэтому коротко докажу пару свойств. Смотрите чертеж, все - в соответствии с обозначениями задачи, поэтому я не буду пояснять, где там высоты и пр. Если я пишу "cos(C)" без пояснений, то это косинус угла АСВ в исходном треугольнике.

1. тр-к А1В1С подобен АВС.

А1С = АС*cos(C);

B1C = BC*cos(C);

A1C/B1C = AC/BC, угол АСВ общий, поэтому треугольники подобны.

САМО СОБОЙ, это касается и тр-ков АВ1С1 и А1ВС1. Все эти 4 треугольника, включая исходный - подобны.

2. из 1 следует, что угол АВ1С1 = угол А1В1С. ВВ1 - препендикуляр к АС, поэтому

угол С1В1В = угол А1В1В.

То есть В1В - БИССЕТРИССА в треугольнике А1В1С1.

САМО СОБОЙ, С1С и А1А - тоже биссектрисы в треугольнике А1В1С1;

Вот теперь можно и задачку порешать.

A1F/FD1 = В1С1/А1С1 по свойству биссектриссы,

но из подобия (см 1.) и теоремы синусов следует

В1С1 = АВ1*sin(A)/sin(C) = AB*cos(A)*sin(A)/sin(C);

A1С1 = А1В*sin(B)/sin(C) = AB*cos(B)*sin(B)/sin(C);

Делим одно на другое, получаем 

A1F/FD1 = cos(A)*sin(A)/(cos(B)*sin(B)); то есть равно отношению синусов удвоенных углов А и В в АВС. Это можно было бы и сразу записать, применяя теорему синусов к ортотреугольнику A1B1C1. Но для этого пришлось бы вычислять его углы... 

Итак, задача ИДЕОЛОГИЧЕСКИ :))) решена, осталось вычислить углы в треугольнике тут множество, например, сосчитать площадь по формуле Герона, найти высоты, ну и далее - синусы и косинусы... это, так сказать, титанический А можно - по теореме косинусов.

12^2 = 18^2 + 15^2 - 2*18*15*cos(A); cos(A) = 3/4; sin(A) = корень(7)/4;

15^2 = 18^2 + 12^2 - 2*18*15*cos(B); cos(B) = 9/16; sin(B) = корень(7)*5/16;

A1F/FD1 = 16/15

Если бы я тут за очками гнался, ни за что бы не стал за 5 очков решать эту задачу :))))))